5.2 • Matrices diagonalisables
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5.2 MATRICES DIAGONALISABLES
5.2.1 Matrices de passage
• Passage d’une base B à une base B’
Dans l’espace vectoriel E de dimension n, on considère deux bases
et
, ,
.
Chaque vecteur , ,
se décompose de façon unique dans la
base B :
On appelle matrice de passage de la base B à la base B la matrice :
• Passage d’une base B’ à une base B
Soit P la matrice de passage de la base B à la base B et Q, la matrice
de passage de la base B à la base B. Alors, les deux matrices sont
inversibles et Q = P
–1
.
5.2.2 Changement de base et représentations
matricielles
• Transformation des coordonnées d’un vecteur
Soit v un vecteur de E et
et
ses représentations
matricielles dans les bases B et B .
Alors :
• Matrices semblables
Reprenons l’exemple des matrices de Leslie qui décrivent la loi
(approximée) d’évolution d’une population partagée en p classes
= , , ,
1 2
(
)
n
B e e … e
=
′
′
(
B
e 1 ′2
e 2 , ′n
… e n )
′
e 1 ′2
e 2 , ′n
… e n
=
+
+
′
=
+
+
′
1
11 1
21 2
1
1
1
2
2
n n
n
n
n
n n n
p e p e
p e
e
p e p e
p e
e
"
#
"
1
n
′
=
11
1
1
n
n
n n
p
… p
P
p
… p
#
#
( )
′
′
=
1
n
x
X
x
#
)
(
′
=
′
′
1
n
x
X
x
#
)
(
′
−
=
=
.
′
′
1
et
X P X
X PX