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Chapitre 5 • Réduction des matrices
différentiels linéaires à coefficients constants …) sollicités aussi bien
par la biologie que par d’autres sciences.
5.1 VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES
5.1.1 Définitions
Soit M une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans K (K = R ou C).
On dit que le scalaire λ est une valeur propre de M s’il existe un
vecteur X non nul dans K
n tel que
X.
On appelle vecteur propre de la matrice M associé à la valeur
propre λ, tout vecteur X non nul tel que
.
L’ensemble constitué du vecteur nul et des vecteurs propres associés à une même valeur propre λ est un sous-espace vectoriel de E,
appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ. On le note E λ .
5.1.2 Polynôme caractéristique
Comment trouver toutes les valeurs propres et les vecteurs propres
d’une matrice carrée M d’ordre n ?
Soit λ une valeur propre de M. Par définition, il existe un vecteur
non nul X tel que MX
X. Si l’on désigne par I n la matrice unité
d’ordre n, cette égalité devient :
On obtient ainsi un système linéaire de n équations et n inconnues
(composantes de X).
On sait alors qu’un tel système admet une solution non nulle si, et
seulement si, le déterminant de la matrice correspondante
est
nul.
En développant ce déterminant, on obtient un polynôme de degré n
dont la valeur propre λ est une racine.
Ce polynôme est appelé polynôme caractéristique de la matrice M :
L’ensemble des valeurs propres d’une matrice carrée M est donc
égal à l’ensemble des racines de son polynôme caractéristique.
Exemple générique
Le polynôme caractéristique de
est :
λ
=
MX
v
λ
=
MX
X
λ
=
λ
−
= .
(
)
0
n
M
I X
λ
− n
M
I
λ
λ
=
−
.
( ) det(
)
n
P
M
I
=
a b
M
c d
( )
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
= − +
+ − .
−
2
( )
(
)
a
b
P
ad
a db c
c
d