5 Réduction
des matrices
Reprenons l’exemple des ours vu dans le chapitre précédent. Nous
avons représenté la distribution de leur population en cinq classes d’âge
par un vecteur de dimension 5 et la répartition de cette population à
l’année n est définie par
où V 0 est la distribution initiale et
Les questions que nous nous posons lorsqu’on étudie la population
d’une espèce sont relatives à son devenir : va-t-elle s’éteindre ? va-telle proliférer ? va-t-elle vers une position d’équilibre ? existe-t-il une
distribution initiale qui assurerait sa pérennité ?
Le calcul direct des puissances n-ièmes de la matrice A ne permet
pas de répondre à ces questions.
Dans ce chapitre, nous allons développer un outil d’analyse efficace. Il est fondé sur les valeurs et vecteurs propres. D’ailleurs, ce
même outil se retrouve dans d’autres domaines mathématiques
(statistiques, configurations géométriques, résolution des systèmes
PLAN
5.1 Valeurs propres et vecteurs propres
5.2 Matrices diagonalisables
5.3 Retour aux matrices de Leslie
5.4 Systèmes différentiels linéaires
OBJECTIFS
➤ Simplifier une représentation matricielle.
➤ Étudier l’évolution dans le temps d’un phénomène décrit par une matrice
(cas discret) ou par un système différentiel linéaire (cas continu).
=
0
n
n
V A V
,
,
=
,
,
0
0
0
0
0 38
0 89
0
0
0
0
0
0 73
0
0
0
0
0
0 56
0
0
0
0
0
0 76 0 92
A
(
)
,
,