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“MPSI-fin” — 2013/7/22 — 9:45 — page 374 — #382
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Exercices Corrigés
CHAPITRE 6 – LE SOLIDE CRISTALLIN
6.10 Étude structurale d’une ferrite
1. Les ions oxyde forment un empilement compact cubique à faces centrées représenté dans le cours.
On remarquera que l’emploi de l’expression « maille élémentaire » est ambiguë : on lui préfèrera le
terme maille conventionnelle.
2. Le décompte des ions oxyde dans la maille conventionnelle donne quatre ions : 8 aux sommets
appartenant à 8 mailles donc comptant pour un huitième, et 6 aux centres des faces, appartenant à deux
faces et donc comptant pour moitié soit :
8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
= 4
3. Les sites tétraédriques sont aux centres des petits cubes d’arête
a
2
. La diagonale du grand cube est de
longueur
√
3a donc la diagonale du petit cube est de longueur
√
3
4
a. Cette distance est égale à la somme
du rayon de l’ion oxyde (placé aux sommets) et du rayon de la sphère de rayon maximal susceptible
d’être placée au centre du petit cube, noté r T :
√
3
4
a = r O 2− + r T
La relation entre le paramètre de maille a et le rayon de l’ion oxyde r O 2− est obtenue en écrivant la
condition de tangence, c’est-à-dire trouvant la distance minimale anion-anion, soit sur la diagonale
d’une face. Cette relation s’écrit :
a
√
2 = 4r O 2−
et donc le rayon r T du site tétraédrique s’exprime en fonction du rayon r O 2− de l’ion oxyde selon :
√
3
4
2
√
2r O 2− = r O 2− + r T
soit :
r T = (
3
2
− 1)r O 2−
Numériquement : r T = 31,5 pm.
4. Les sites octaédriques de la structure sont situés au centre de la maille conventionnelle et au milieu
des arêtes. Le rayon maximal de la sphère placée au centre d’un site octaédrique, noté r O , est tel que
la distance du centre du site octaédrique à un sommet, soit a, est égale à la somme du rayon de l’ion
oxyde et du rayon de la sphère placée au centre du site octaédrique, soit :
a
2
= r O + r O 2−
soit, en tenant compte de la relation entre a et r O 2− :
r O =
√
2r O 2− − r O 2−
soit :
r O = (
√
2 − 1)r O 2−
Numériquement : r O = 58 pm.
5. La taille des sites octaédriques ou tétraédriques est trop faible pour pouvoir accueillir les ions fer(II)
et fer(III) : en conséquence les ions oxyde s’écartent et ne sont pas tangents dans la ferrite.
6. Il y a un site octaédrique par ion oxyde et deux sites tétraédriques par ion oxyde. Dans l’oxyde de
fer Fe 3 O 4 , il y a deux ions fer(III) et un ion fer(II). Comme tous les ions fer(III) occupent des sites
octaédriques, la moitié de ceux-ci sont occupés par les ions fer(III). Il y a 4 fois moins d’ions fer(II)
que d’ions oxyde : ainsi 12,5 % des sites octaédriques sont occupés par des ions fer(II) et 6,25 % des
sites tétraédriques sont occupés par les ions fer(II). Au total, 62,5 % des sites octaédriques sont occupés.
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CHAPITRE 6 – LE SOLIDE CRISTALLIN
6.10 Étude structurale d’une ferrite
1. Les ions oxyde forment un empilement compact cubique à faces centrées représenté dans le cours.
On remarquera que l’emploi de l’expression « maille élémentaire » est ambiguë : on lui préfèrera le
terme maille conventionnelle.
2. Le décompte des ions oxyde dans la maille conventionnelle donne quatre ions : 8 aux sommets
appartenant à 8 mailles donc comptant pour un huitième, et 6 aux centres des faces, appartenant à deux
faces et donc comptant pour moitié soit :
8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
= 4
3. Les sites tétraédriques sont aux centres des petits cubes d’arête
a
2
. La diagonale du grand cube est de
longueur
√
3a donc la diagonale du petit cube est de longueur
√
3
4
a. Cette distance est égale à la somme
du rayon de l’ion oxyde (placé aux sommets) et du rayon de la sphère de rayon maximal susceptible
d’être placée au centre du petit cube, noté r T :
√
3
4
a = r O 2− + r T
La relation entre le paramètre de maille a et le rayon de l’ion oxyde r O 2− est obtenue en écrivant la
condition de tangence, c’est-à-dire trouvant la distance minimale anion-anion, soit sur la diagonale
d’une face. Cette relation s’écrit :
a
√
2 = 4r O 2−
et donc le rayon r T du site tétraédrique s’exprime en fonction du rayon r O 2− de l’ion oxyde selon :
√
3
4
2
√
2r O 2− = r O 2− + r T
soit :
r T = (
3
2
− 1)r O 2−
Numériquement : r T = 31,5 pm.
4. Les sites octaédriques de la structure sont situés au centre de la maille conventionnelle et au milieu
des arêtes. Le rayon maximal de la sphère placée au centre d’un site octaédrique, noté r O , est tel que
la distance du centre du site octaédrique à un sommet, soit a, est égale à la somme du rayon de l’ion
oxyde et du rayon de la sphère placée au centre du site octaédrique, soit :
a
2
= r O + r O 2−
soit, en tenant compte de la relation entre a et r O 2− :
r O =
√
2r O 2− − r O 2−
soit :
r O = (
√
2 − 1)r O 2−
Numériquement : r O = 58 pm.
5. La taille des sites octaédriques ou tétraédriques est trop faible pour pouvoir accueillir les ions fer(II)
et fer(III) : en conséquence les ions oxyde s’écartent et ne sont pas tangents dans la ferrite.
6. Il y a un site octaédrique par ion oxyde et deux sites tétraédriques par ion oxyde. Dans l’oxyde de
fer Fe 3 O 4 , il y a deux ions fer(III) et un ion fer(II). Comme tous les ions fer(III) occupent des sites
octaédriques, la moitié de ceux-ci sont occupés par les ions fer(III). Il y a 4 fois moins d’ions fer(II)
que d’ions oxyde : ainsi 12,5 % des sites octaédriques sont occupés par des ions fer(II) et 6,25 % des
sites tétraédriques sont occupés par les ions fer(II). Au total, 62,5 % des sites octaédriques sont occupés.
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