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“MPSI-fin” — 2013/7/22 — 9:45 — page 324 — #332
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CHAPITRE 6 – LE SOLIDE CRISTALLIN
FIGURE 6.18 – Recouvrement d’un plan par des disques.
Chaque disque est en contact avec six disques voisins placés au sommet d’un hexagone régulier. La construction précédente étant valable pour des sphères, nous pouvons étendre le
résultat à un plan recouvert de sphères. À partir du premier plan de sphères assemblées de manière compacte, considérons un deuxième plan de sphères parallèle au premier et cherchons
à effectuer un remplissage de ce nouveau plan tout en respectant la condition de compacité
maximale dans les trois directions de l’espace. Ceci est réalisé en utilisant un assemblage de
sphères, identique au premier plan, positionné de manière à ce que les centres des sphères
du deuxième plan se placent à la verticale du centre des triangles formés par trois sphères
contiguës du premier plan (voir figure 6.19) :
Sphères du plan A
Sphères du plan B
FIGURE 6.19 – Superposition compacte de deux plans de sphères.
Nous observons que cette opération engendre deux classes de triangles dans le premier plan
selon que leur centre est recouvert ou non par une sphère dans le deuxième plan. Chaque
atome du deuxième plan est en contact avec trois atomes du premier plan avec lesquels il
forme un tétraèdre.
Si nous ajoutons un troisième plan de sphères sur les deux premiers, nous constatons qu’il
existe maintenant deux possibilités qui satisfont la condition de compacité maximale :
• Les centres des sphères du troisième plan sont positionnés à la verticale des centres des
sphères du premier plan, cet empilement est noté -A-B-A-B- (voir figure 6.20).
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FIGURE 6.18 – Recouvrement d’un plan par des disques.
Chaque disque est en contact avec six disques voisins placés au sommet d’un hexagone régulier. La construction précédente étant valable pour des sphères, nous pouvons étendre le
résultat à un plan recouvert de sphères. À partir du premier plan de sphères assemblées de manière compacte, considérons un deuxième plan de sphères parallèle au premier et cherchons
à effectuer un remplissage de ce nouveau plan tout en respectant la condition de compacité
maximale dans les trois directions de l’espace. Ceci est réalisé en utilisant un assemblage de
sphères, identique au premier plan, positionné de manière à ce que les centres des sphères
du deuxième plan se placent à la verticale du centre des triangles formés par trois sphères
contiguës du premier plan (voir figure 6.19) :
Sphères du plan A
Sphères du plan B
FIGURE 6.19 – Superposition compacte de deux plans de sphères.
Nous observons que cette opération engendre deux classes de triangles dans le premier plan
selon que leur centre est recouvert ou non par une sphère dans le deuxième plan. Chaque
atome du deuxième plan est en contact avec trois atomes du premier plan avec lesquels il
forme un tétraèdre.
Si nous ajoutons un troisième plan de sphères sur les deux premiers, nous constatons qu’il
existe maintenant deux possibilités qui satisfont la condition de compacité maximale :
• Les centres des sphères du troisième plan sont positionnés à la verticale des centres des
sphères du premier plan, cet empilement est noté -A-B-A-B- (voir figure 6.20).
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