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“MPSI-fin” — 2013/7/22 — 9:45 — page 308 — #316
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CHAPITRE 6 – LE SOLIDE CRISTALLIN
compte pour un huitième de nœud par maille. Dans un réseau bidimensionnel, les mailles
simples sont des parallélogrammes avec un nœud à chaque angle, dans un réseau tridimensionnel ce sont des parallélépipèdes avec un nœud à chaque sommet.
Toutes les autres mailles qui contiennent plus d’un nœud sont des mailles multiples. On parle
de maille multiple d’ordre n pour indiquer le nombre de nœuds contenus dans la maille.
Maille primitive
L’existence d’une infinité de mailles simples permettant de décrire le réseau suppose de choisir une maille particulière ; ce choix repose sur l’examen des propriétés de symétrie du réseau.
La notion de propriété de symétrie peut être intuitivement saisie en examinant un carré ; ce
polygone est retrouvé identique à lui-même au terme d’une opération de symétrie par rapport à un élément de symétrie (un axe ou un plan par exemple). Les opérations de symétrie
sont des réflexions, des rotations ou des opérations composées de rotation et de réflexions.
Il n’entre pas dans l’objectif de ce cours de décrire les opérations de symétrie, il suffit de
savoir que l’ensemble des opérations de symétrie possibles pour une figure donnée (ici une
maille) définit un groupe mathématique et que ce groupe constitue le critère de choix entre
les mailles simples.
La maille primitive est une maille simple qui possède tous les éléments de symétrie du
réseau. Ainsi dans le réseau présenté figure 6.6, la maille primitive est le carré (maille a)
puisque tous les éléments de symétrie de cette maille sont ceux du réseau lui-même, les
mailles b et c ne possèdent pas tous les éléments de symétrie du réseau et ne sont pas des
mailles primitives, bien qu’elles soient aussi des mailles simples.
a
b
c
FIGURE 6.6 – Mailles simples (a, b, c) et maille primitive (a)
Lorsqu’une maille primitive existe, elle est choisie pour construire le réseau, ainsi dans un
réseau cubique, la maille primitive est un cube.
La maille simple fait référence au seul parallélépipède (objet de dimension finie
analysé au moyen des groupes ponctuels de symétrie) ; la maille primitive intègre le
réseau (objet de dimension infinie). L’analyse de la maille primitive suppose l’utilisation des groupes d’espace adaptés aux objets de dimension infinie.
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compte pour un huitième de nœud par maille. Dans un réseau bidimensionnel, les mailles
simples sont des parallélogrammes avec un nœud à chaque angle, dans un réseau tridimensionnel ce sont des parallélépipèdes avec un nœud à chaque sommet.
Toutes les autres mailles qui contiennent plus d’un nœud sont des mailles multiples. On parle
de maille multiple d’ordre n pour indiquer le nombre de nœuds contenus dans la maille.
Maille primitive
L’existence d’une infinité de mailles simples permettant de décrire le réseau suppose de choisir une maille particulière ; ce choix repose sur l’examen des propriétés de symétrie du réseau.
La notion de propriété de symétrie peut être intuitivement saisie en examinant un carré ; ce
polygone est retrouvé identique à lui-même au terme d’une opération de symétrie par rapport à un élément de symétrie (un axe ou un plan par exemple). Les opérations de symétrie
sont des réflexions, des rotations ou des opérations composées de rotation et de réflexions.
Il n’entre pas dans l’objectif de ce cours de décrire les opérations de symétrie, il suffit de
savoir que l’ensemble des opérations de symétrie possibles pour une figure donnée (ici une
maille) définit un groupe mathématique et que ce groupe constitue le critère de choix entre
les mailles simples.
La maille primitive est une maille simple qui possède tous les éléments de symétrie du
réseau. Ainsi dans le réseau présenté figure 6.6, la maille primitive est le carré (maille a)
puisque tous les éléments de symétrie de cette maille sont ceux du réseau lui-même, les
mailles b et c ne possèdent pas tous les éléments de symétrie du réseau et ne sont pas des
mailles primitives, bien qu’elles soient aussi des mailles simples.
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FIGURE 6.6 – Mailles simples (a, b, c) et maille primitive (a)
Lorsqu’une maille primitive existe, elle est choisie pour construire le réseau, ainsi dans un
réseau cubique, la maille primitive est un cube.
La maille simple fait référence au seul parallélépipède (objet de dimension finie
analysé au moyen des groupes ponctuels de symétrie) ; la maille primitive intègre le
réseau (objet de dimension infinie). L’analyse de la maille primitive suppose l’utilisation des groupes d’espace adaptés aux objets de dimension infinie.
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