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“MPSI-fin” — 2013/7/22 — 9:45 — page 307 — #315
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LE CRISTAL PARFAIT
Mailles
La construction d’un cristal est un problème géométrique de pavage dans un espace à trois
dimensions. L’unité de pavage du réseau est une structure parallélépipédique : la maille. Elle
est définie au moyen de trois vecteurs ( a, b,, c) ou de six scalaires : trois longueurs (a, b, c)
et trois angles (α, β , γ). Le terme générique de maille s’applique à tous les parallélépipèdes
permettant de construire par translation la figure périodique infinie sans laisser de vide.
Dans un réseau bidimensionnel tel que celui présenté figure 6.4 (le réseau est l’ensemble des
points), il existe de nombreuses mailles (des parallélogrammes dans ce cas) permettant un
pavage de l’ensemble du plan.
M a
M b
FIGURE 6.4 – Mailles dans un réseau bidimensionnel
Une maille de ce réseau est décrite par le contenu du parallélogramme défini par deux vecteurs. Comme une infinité de mailles sont utilisables pour effectuer le pavage de la surface, il
est nécessaire de lever l’indétermination sur la maille retenue pour décrire le réseau. Par
convention, on choisit d’utiliser des mailles dans lesquelles les nœuds du réseau correspondent aux extrémités des vecteurs servant à la construction de la maille. Cette convention
permet d’écarter les mailles (M a ) et (M b ) de la figure 6.4 pour décrire le réseau.
Maille simple et maille multiple
On distingue deux genres de mailles : les mailles simples et les mailles multiples.
Nœud partagé entre quatre mailles
FIGURE 6.5 – Mailles simples dans un réseau bidimensionnel
Les mailles simples d’un réseau sont celles ne contenant qu’un nœud. Dans le réseau bidimensionnel précédent, chaque nœud est partagé entre quatre mailles contiguës et est compté
comme un quart de nœud par maille ; dans un réseau tridimensionnel, chaque nœud du réseau
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LE CRISTAL PARFAIT
Mailles
La construction d’un cristal est un problème géométrique de pavage dans un espace à trois
dimensions. L’unité de pavage du réseau est une structure parallélépipédique : la maille. Elle
est définie au moyen de trois vecteurs ( a, b,, c) ou de six scalaires : trois longueurs (a, b, c)
et trois angles (α, β , γ). Le terme générique de maille s’applique à tous les parallélépipèdes
permettant de construire par translation la figure périodique infinie sans laisser de vide.
Dans un réseau bidimensionnel tel que celui présenté figure 6.4 (le réseau est l’ensemble des
points), il existe de nombreuses mailles (des parallélogrammes dans ce cas) permettant un
pavage de l’ensemble du plan.
M a
M b
FIGURE 6.4 – Mailles dans un réseau bidimensionnel
Une maille de ce réseau est décrite par le contenu du parallélogramme défini par deux vecteurs. Comme une infinité de mailles sont utilisables pour effectuer le pavage de la surface, il
est nécessaire de lever l’indétermination sur la maille retenue pour décrire le réseau. Par
convention, on choisit d’utiliser des mailles dans lesquelles les nœuds du réseau correspondent aux extrémités des vecteurs servant à la construction de la maille. Cette convention
permet d’écarter les mailles (M a ) et (M b ) de la figure 6.4 pour décrire le réseau.
Maille simple et maille multiple
On distingue deux genres de mailles : les mailles simples et les mailles multiples.
Nœud partagé entre quatre mailles
FIGURE 6.5 – Mailles simples dans un réseau bidimensionnel
Les mailles simples d’un réseau sont celles ne contenant qu’un nœud. Dans le réseau bidimensionnel précédent, chaque nœud est partagé entre quatre mailles contiguës et est compté
comme un quart de nœud par maille ; dans un réseau tridimensionnel, chaque nœud du réseau
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