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“MPSI-fin” — 2013/7/22 — 9:45 — page 239 — #247
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Exercices Corrigés
CORRIGÉS
Au bout de 24 h, l’activité de l’échantillon est de :
N(24) = 48000 × exp
−
24 × 0, 693
2, 84
= 137 d´ esint´ egrations·min
−1 .
4.5 Radioisotope de l’argent
1. La désintégration radioactive suit une loi cinétique d’ordre un. L’équation différentielle est du type :
dN
dt
= −λ N.
L’équation différentielle s’intègre aisément sous la forme : N(t) = N(0) exp(−λt).
La durée de demi-vie correspond au temps T nécessaire pour voir la quantité d’éléments diminuée de
moitié.
N(T ) =
N(0)
2
soit :
N(0)
2
= N(0) exp(−λ T ).
Il vient alors :
λ =
ln 2
T
.
Application numérique : λ =
ln 2
249
= 2,78.10
− 3 jours.
2. L’activité correspond au nombre de désintégrations par seconde rapporté à une unité de masse.
m est la référence de masse, nous avons alors :
A(t) = −
1
m
dN
dt
=
λ N(0)
m
exp(−λt)
soit :
A(t) = A(0) exp(−λt)
3. Nous avons A(t) = 5,00.10 13 Bq·g −1 , par conséquent : t =
1
λ
ln
A(0)
A(t)
.
Application numérique : t =
1
2, 78.10 −3 ln
1, 76.10 14
5, 00.10 13
= 452 jours.
4.6 Dismutation des ions hypochlorite
1. La vitesse de la réaction est définie par la vitesse de disparition des ions hypochlorite :
r
de f
= −
d[ClO − ]
dt
.
Cette vitesse est proposée comme étant d’ordre 2. On a par conséquent l’équation différentielle :
−
d[ClO − ]
dt
= k[ClO
− ]
2
dont la séparation des variables (t et [ClO − ]) s’écrit :
d[ClO − ]
[ClO − ] 2 = −kdt
qui s’intègre très facilement par sommation :
[ClO
− ](t)
c 0
d[ClO − ]
[ClO − ] 2 =
t
0
−kdt
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