On sait que lim
x→0
x>0
e −1/x
x
= lim
t→−∞
e t
−1/t
= lim
t→−∞
− te
t = 0 . Comme
lim
x→0
x>0
(1 − e
−1/x ) = 1, on en déduit lim
x→0
x>0
f (x)−1
x
= 0. Cela montre que la
courbe de f a une demi-tangente horizontale au point (0,1).
On peut maintenant dessiner la courbe de f sur ]0,+∞[ et compléter par
symétrie par rapport à l’origine.
Exercices
91
y = 2 x
x
y
1
–1
CONSEIL
® N’hésitez pas à faire une étude locale en quelques points remarquables :
vous pourrez ainsi dessiner la courbe plus précisément.
EXERCICES
5.1 Posons f (x) =
3
√
1 − x 2 + x 3 .
a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
Étudier les variations de f.
b) En quels points f a-t-elle un maximum local ? un minimum local ?
c) Montrer que la courbe de f coupe l’axe des abscisses en un unique
point, d’abscisse comprise entre −1 et 0.
d) Montrer que la courbe de f a une asymptote dont on calculera l’équation. Quelle est la position de la courbe par rapport à cette asymptote ?
Dessiner la courbe de f .
5.2 Soit a ∈ R \ {0,1}. Posons f (x) = ln
1 + ax
1 + x
.
a) Trouver un intervalle ouvert contenant 0 sur lequel la fonction f est
définie.
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