b) Faire une étude locale de f en 0. Dessiner l’allure de la courbe de f au
voisinage de 0 (tangente et position par rapport à la tangente) en discutant selon les valeurs de a.
5.3 Soit f : R → R la fonction définie par f (x) =
1
2
x
4 − x
3 − x + 2.
Montrer que f a deux points d’inflexion qu’on déterminera. Dessiner
l’allure de la courbe de f en chacun de ces points.
5.4 Posons f (x) = Arcsin(e
−x 2 ).
a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?
Étudier les variations de f.
b) En utilisant la question (d) de l’exercice 1.4 page 17, montrer qu’en 0,
le graphe de f a deux demi-tangentes dont on calculera les pentes.
c) Calculer lim
x→+∞
f (x). Dessiner la courbe de f.
5.5 Posons f (x) = (x
2 − 1)ln
x + 1
x − 1
pour tout x ∈ R \ {1,−1}.
a) Montrer que la fonction f est impaire.
b) Montrer que f (x) a une limite quand x tend vers 1. En déduire qu’il
y a une une fonction continue h : R → R telle que h(x) = f (x) pour
tout x ∈ R \ {1,−1}.
La fonction h est-elle dérivable en 1 ? La courbe de h a-t-elle une tangente au point d’abscisse 1 ?
c) Déterminer l’asymptote à la courbe de f et la position de la courbe de
f par rapport à cette asymptote.
d) Soit D =]0,1[∪]1,+∞[. Pour tout x ∈ D, posons
u(x) = ln
1 + x
|1 − x|
−
1
x
(i) En étudiant la fonction u, montrer que l’on a u(x) > 0 pour tout
x ∈ ]1,+∞[et qu’il existe α ∈ ]0,1[tel que u(x) < 0 pour x ∈ ]0,α[ et
u(x) > 0 pour x ∈ ]α,1[.
(ii) Montrer que pour tout x ∈ D, on a f
(x) = 2xu(x). Dresser le
tableau de variations de f.
(iii) Calculer f
(0) et dessiner la courbe de f.
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Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
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