SOLUTIONS
5.1 a) Posons u(x) = 1 − x
2 + x
3
. La fonction u et la fonction
x →
3
√ x sont définies sur R, donc f aussi.
Puisque la fonction racine cubique est croissante sur R, f a les mêmes
variations que u. On a u
(x) = 3x
2 − 2x = x(3x − 2) , d’où le tableau
de variation :
Solutions
93
−∞
0
2/3
+∞
u
(x)
+
–
+
f (x)
−∞
∞
1
b) La fonction f a un maximum local au point (0,1) et un minimum local
au point d’abscisse 2/3 ; la valeur de ce minimum local est
f (2/3) =
3
√
23/3 > 0.
c) Les variations de f montrent que, pour tout x 0, on a
f (x) f (2/3) > 0. De plus, f est continue et strictement croissante sur
] − ∞,0]. Puisque f (0) > 0 et f (−1) = −1
1/3 = −1 < 0, on déduit
du théorème des valeurs intermédiaires que l’équation f (x) = 0 a une
unique solution s ∈ R, et que l’on a −1 < s < 0.
d) Pour tout x = / 0, on a f (x) = x
3 3
1 −
1
x +
1
x 2 . En posant x = 1/t, il
vient f (1/t) = (1/t)
3
√
1 − t + t 3 . Puisque
−t + t
3
2
= −t, on a
f
1
t
=
1
t



 1 −
1
3
t +
1
3
1
3
− 1
2
(−t)
2 + o(t
2 )




=
1
t
1 −
1
3
t −
1
9
t
2 + o(t
2 )
=
1
t
−
1
3
−
1
9
t + o(t)
donc
f (x) = x −
1
3
−
1
9x
+
1
x
ε(x) , où lim
x→±∞
ε(x) = 0.
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