Ainsi la droite d’équation y = x −
1
3 est asymptote à la courbe de f en
+∞ et en −∞. Puisque −1/9x a le signe opposé de celui de x, la courbe
est en dessous de l’asymtote au voisinage de +∞, et au dessus au voisinage de−∞.
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Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
Graphe de f et de l’asymptote
x
y
2/3
1
y =
x –
1 / 3
y =
f ( x )
5.2 a) Si |x| < 1, on a 1 + x > 0; si |x| < 1/|a|, alors |ax| < 1, donc
1 + ax > 0. Posons m = min(1,1/|a|). Alors on a m > 0 et pour tout
x ∈ ] − m,m[, on a 1 + x > 0 et 1 + ax > 0, donc
1+ax
1+x > 0. La fonction f est donc définie au moins sur l’intervalle ] − m,m[.
b) Pour tout x ∈ ] − m,m[ , on a f (x) = ln(1 + ax) − ln(1 + x).
Le développement limité de f à l’ordre 2 en 0 est
f (x) =
ax −
1
2
a
2
x
2
−
x −
1
2
x
2
+ o(x
2 )
= (a − 1)x +
1
2
(1 − a
2 )x
2 + o(x
2 )
Au point (0,0), la courbe de f a une tangente de pente a − 1. Si |a| < 1 ,
alors 1 − a
2 > 0 et au voisinage de 0, la courbe de f est au dessus de
cette tangente. Si |a| > 1 , alors au voisinage de 0, la courbe de f est en
dessous de la tangente.
Supposons a = −1. Alors le développement de f à l’ordre 3 en 0 est
f (x) =
−x −
1
2
x
2 −
1
3
x
3
−
x −
1
2
x
2 +
1
3
x
3
+ o(x
3 )
= −2x −
2
3 x
3 + o(x
3 )
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