La tangente en 0 a pour pente −2 et l’origine est un point d’inflexion.
En tout point x > 0 suffisamment proche de 0, la courbe est en dessous
de sa tangente.
Solutions
95
a < 1
a > 1
– 1 < a < 1
a = –1
5.3 On a f
(x) = 2x
3 − 3x
2 − 1, f
(x) = 6x
2 − 6x = 6x(x − 1) et
f
(x) = 6(2x − 1) . L’équation f
(x) = 0 a pour solutions 0 et 1 : les
éventuels points d’inflexion ont donc pour abscisse 0 ou 1.
• La fonction étant polynomiale, son développement limité en 0 à l’ordre 3 est f (x) = f (x) 3 = 2 − x − x
3 + o(x
3 ) . Le point (0,2) est
donc un point d’inflexion de la courbe de f, la tangente en ce point a
pour équation y = 2 − x et pour tout x > 0 suffisamment petit, la
courbe est en dessous de cette tangente.
• On a f (1) = 1/2, f
(1) = −2, f
(1) = 0 et f
(1) = 6, donc au
point 1, le développement limité de f à l’ordre 3 est
f (1 + t) = 1/2 − 2t + t
3 + o(t
3 )
car on sait que le coefficient de t
3
est (1/3!) f
(1) = 1 . Le point
(1,1/2) est donc un point d’inflexion de la courbe de f, la tangente
en ce point a pour équation y = 1/2 − 2(x − 1) , ou encore
y = 5/2 − 2x. Pour tout x > 1 suffisamment proche de 1, la courbe
est au dessus de cette tangente.
x
y
2
1
1/2
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