5.4 a) La fonction Arcsinus est définie sur [−1,1] et pour tout x ∈ R,
on a 0 < e
−x 2 e
0 = 1, donc f est définie sur R. La fonction exponentielle est croissante et x → −x
2
est décroissante sur [0,+∞[, donc f est
décroissante sur [0,+∞[. Puisque la fonction f est paire, elle est croissante sur ] − ∞,0].
b) On a f (0) = Arcsin 1 = π/2. Étudions la limite du rapport
f (x)− f (0)
x−0
=
f (x)−π/2
x
quand x tend vers 0 par valeurs positives. On a
f (x) − π/2
x
=
Arcsin(e
−x 2 ) − π/2
x
=
Arcsin(e
−x 2 ) − π/2
1 − e −x 2
1 − e −x 2
x
On sait que lim
x→0
Arcsin(e
−x 2 ) − π/2
1 − e −2x 2
= lim
t→1
t<1
Arcsin t − π/2
√
1 − t 2
= −1
d’après la question (d) de l’exercice indiqué. D’autre part, le développement limité de l’exponentielle en 0 montre que e
−2x 2 =
1 − 2x
2 + o(x
2 ), donc
1 − e −2x 2 =
√
2x 2 + o(x) = |x|
√
2 + o(x)
On a ainsi lim
x→0
x>0
1 − e −x 2
x
=
√
2 et lim
x→0
x<0
1 − e −x 2
x
= −
√
2 .
Par suite
lim
x→0
x>0
f (x) − π/2
x
= −
√
2 et lim
x→0
x<0
f (x) − π/2
x
=
√
2
Ce sont les pentes des demi-tangentes au graphe de f au point (0,π/2) ;
ces pentes sont opposées, en accord avec le fait que, f étant paire, la
courbe de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
c) On a lim
x→+∞
e
−x 2 = lim
x→−∞
e
x = 0, donc lim
x→+∞
Arcsin(e
−x 2 ) =
Arcsin(0) = 0.
La courbe de f est asymptote à l’axe des abscisses en +∞ et en −∞.
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Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
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