e
t − 1 = t +
1
2!
t
2 +
1
3!
t
3 + o(t
3 ) = t
1 +
1
2
t +
1
6
t
2 + o(t
2 )
1
e t − 1
=
1
t
1 −
1
2
t −
1
6
t
2 +
1
4
t
2 + o(t
2 )
=
1
t
1 −
1
2
t +
1
12
t
2 + o(t
2 )
d’où
f
1
t
=
1
t
2 + t +
1
2
t
2
1 −
1
2
t +
1
12
t
2
2
+ o(t
2 )
=
1
t
2 +
1
6
t
2 + o(t
2 )
=
2
t
+
1
6
t + o(t)
En posant o(t) = tε(t), où lim
t→0
ε(t) = 0 , il vient
f (x) = 2x +
1
6x
+
1
x
ε(1/x) et
lim
x→±∞
ε(1/x) = 0.
Ainsi lim
x→±∞
f (x)/x = 2 et lim
x→±∞
f (x) − 2x
= 0, donc la droite d’équation y = 2x est asymptote à la courbe de f en +∞ et en −∞.
De plus, au voisinage de +∞ et au voisinage de −∞, f (x) − 2x a le signe
de
1
6x
:
– au voisinage de +∞, la courbe de f est au dessus de l’asymptote,
– au voisinage de −∞, la courbe de f est en dessous de l’asymptote.
Terminons l’étude de la fonction f.
• f est impaire, car f (x) =
e
1/x + 1
e 1/x − 1
=
e
1/x (1 + e
−1/x )
e 1/x (1 − e −1/x )
= − f (−x) .
• Sur ]0,+∞[, la fonction x → 1/x est décroissante, donc aussi la fonction
v : x → e
1/x . Pour tout x > 0, on a e
1/x ∈ ]1,+∞[ et sur l’intervalle
]1,+∞[, la fonction u : x →
x+1
x−1
= 1 +
2
x−1
est décroissante. Puisqu’on
a f (x) = u ◦ v(x) , on en déduit que f est croissante sur ]0,+∞[.
• On a f (x) =
1 + e
−1/x
1 − e
−1/x
et lim
x→0
x>0
e
−1/x = 0, donc lim
x→0
x>0
f (x) = 1.
• Étudions la courbe au voisinage de l’origine.
On a f (x) − 1 =
1 + e
−1/x
1 − e −1/x − 1 =
2e
−1/x
1 − e −1/x , donc
f (x) − 1
x
= 2
e
−1/x
x
1
1 − e −1/x .
90
Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
9782100545636-Liret-C05.qxd 31/03/10 11:10 Page 90