5.3 DROITE ASYMPTOTE
Rappelons que si a est un nombre réel et si lim
x→a
f (x) = ∞, alors la
courbe de f a une asymptote verticale en a.
Recherche d’une asymptote oblique
Voici les définitions dans le cas d’une fonction f définie sur un intervalle
[r,+∞[.
® Si
f (x)
x a une limite finie a quand x tend vers +∞, on dit que la
courbe de f a, en +∞, une direction asymptotique de pente a.
® Si de plus f (x) − ax a une limite finie b quand x tend vers +∞,
alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe de f
en +∞.
Position de la courbe par rapport à une asymptote
Supposons lim
x→+∞
f (x)
x = a et lim
x→+∞
f (x)−ax
= b.
La différence f (x) − (ax + b) mesure
l’écart algébrique P M entre le point P
d’abscisse x sur l’asymptote et le point M
d’abscisse x sur la courbe de f. La position
de la courbe par rapport à l’asymptote
est donc donnée par le signe de
f (x) − (ax + b).
Souvent, on se contente de déterminer ce signe pour tout x suffisamment
grand : c’est cela qu’on entend par « position de la courbe par rapport à
l’asymptote ». Dans la pratique,
pour trouver une éventuelle asymptote à la courbe de f en +∞
et la position de la courbe par rapport à l’asymptote, on pose
x = 1/t et l’on calcule le développement limité de t → f (1/t)
en 0.
Exemple. Considérons la fonction définie par f (x) =
e
1/x + 1
e 1/x − 1
.
Posons x = 1/t de sorte que f (1/t) =
e
t + 1
e t − 1
, et calculons le développement limité en 0 de cette expression. On a
e
t + 1 = 1 + 1 + t +
1
2!
t
2 + o(t
2 ) = 2 + t +
1
2
t
2 + o(t
2 )
5.3 • Droite asymptotique
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x
y = a x + b
y
y = f(x)
P
M
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