Exemple. Posons f (x) =
1
sin x
−
1
x
pour tout x ∈]0,π [ .
• Montrons que f (x) a une limite quand x tend vers 0.
On a f (x) =
1
x
x
sin x
− 1
et les développement limités
sin x
x
= 1 −
1
3!
x
2 + o(x
2 )
x
sin x
= 1 +
1
3!
x
2 + o(x
2 )
d’où
f (x) =
1
x
1
3!
x
2 + o(x
2 )
=
1
6
x + o(x)
On a ainsi lim
x→0
f (x) = 0.
• Posons f (0) = 0, de sorte que la fonction f est maintenant définie et
continue sur [0,π [ . Le développement limité ci-dessus montre que
f
(0) = 1/6 . La courbe de f a donc une demi-tangente en 0 d’équation
y = (1/6)x.
• Quelle est, au voisinage de 0, la position de la courbe de f par rapport à sa
demi-tangente en 0 ?
Écrivons le développement de f (x)à l’ordre 3 en partant de
sin x
x
= 1 −
1
3!
x
2 +
1
5!
x
4 + o(x
5 ) .
x
sin x
= 1 +
1
3!
x
2 +
1
3!
2
−
1
5!
x
4 + o(x
4 )
= 1 +
1
6
x
2 +
7
360
x
4 + o(x
4 )
f (x) =
1
x
1
6
x
2 +
7
360
x
4 + o(x
4 )
=
1
6
x +
7
360
x
3 + o(x
3 )
Puisqu’on a
7
360
x
3 > 0 pour x > 0, on en déduit qu’au voisinage de 0, la
courbe de f est au dessus de sa tangente à l’origine.
88
Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
y = f(x)
x
y
y = x/6
π
Graphe de f
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