B) Supposons que, dans le développement limité de f (a+t) en 0, le
coefficient de t
2
est nul, mais que f a un développement limité à l’ordre 3 :
f (a + t) = a 0 + a 1 t + a 3 t
3 + o(t
3 ) , où a 3 = / 0.
Alors pour tout t assez proche de 0, d(a+t) a le signe de a 3 t
3
. Puisque
a 3 t
3
change de signe quand t change de signe, on en déduit que la
courbe de f traverse sa tangente au point d’abscisse a : on dit que c’est
un point d’inflexion (figure 5.3 ci-dessous).
Pour trouver un point d’inflexion, on cherche parmi les points d’abscisse
x telle que f
(x) = 0.
On montre de même le résultat général suivant.
Proposition. Si f a un développement limité en a, à un ordre k 2 :
f (a + t) = a 0 + a 1 t + a k t
k + o(t
k ) , où a k = / 0,
alors au voisinage de a, la position de la courbe de f par rapport à
sa tangente en a est donnée par le signe de a k (x−a)
k
.
5.2 • Étude locale d’une fonction
87
Figure 5.1
2
3
y
x
y = f( x)
Figure 5.2
2
y
x
3
y = f(x)
f (3+t) = 2−2t+t
2 +o(t
2 )
Figure 5.3
2
y
x
3
y = f(x)
f (3+t) = 2+(1/2)t+t
3 +o(t
3 )
f (3+t) = 2+(1/2)t−t
2 +o(t
2 )
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