Proposition. Soit f une fonction continue ayant un développement
limité à l’ordre 1 au point a : f (a+t) = a 0 + a 1 t + o(t). Alors
® f est dérivable en a, f (a) = a 0 et f
(a) = a 1 .
® Au point d’abscisse a, l’équation de la tangente au graphe de f est
y = a 0 + a 1 (x − a).
Position du graphe par rapport à la tangente
A) Supposons que f a un développement limité à l’ordre 2 au point a :
f (a + t) = a 0 + a 1 t + a 2 t
2 + o(t
2 ) , où a 2 = / 0.
La tangente au point d’abscisse a est le graphe de la fonction
T (x) = a 0 + a 1 (x − a)
Si M est le point d’abscisse x sur le graphe de f et si P est le point d’abscisse x
sur la tangente en a, la différence
d(x) = f (x) − T (x) est la mesure algébrique P M .
On a T (a+t) = a 0 +a 1 t et
d(a+t) = f (a+t) − T (a+t) = a 2 t
2 + o(t
2 )
Comme on a supposé a 2 = / 0, on en déduit que d(a+t) est du signe de
a 2 t
2
pour tout t assez proche de 0. Ainsi f (x) − T (x) est du signe de a 2
pour tout x assez proche de a.
® Si a 2 > 0, alors au voisinage du point d’abscisse a, la courbe de f
est au dessus de la tangente en a (figure 5.1 ci-dessous).
® Si a 2 < 0, alors au voisinage du point d’abscisse a, la courbe de f
est en dessous de la tangente en a (figure 5.2 ci-dessous).
Cas d’une dérivée nulle
Cela veut dire que la tangente en a est horizontale. On a a 1 = 0, donc
le développement limité de f s’écrit
f (a+t) = a 0 + a 2 t
2 + o(t
2 )
® Si a 2 > 0, la courbe de f a un minimum local en a.
® Si a 2 < 0, la courbe de f a un maximum local en a.
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Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
a+t
a
y = T(x)
y = f(x)
P
M
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