ln(1 + t) = t −
1
2
t
2 +
1
3
t
3 + o(t
3 )
f (1 + t) =
2t
2+t
=
t
1 + t/2
= t
1 −
1
2
t +
1
4
t
2 + o(t
2 )
= t −
1
2
t
2 +
1
4
t
3 + o(t
3 )
Il vient
ϕ(1 + t) = ln(1+t) − f (1+t) =
1
3
−
1
4
t
3 + o(t
3 ) =
1
12
t
3 + o(t
3 )
Pour tout x assez proche de 1, ϕ(x) est donc du signe de
1
12
(x−1)
3 .
On en conclut que
– pour tout x > 1 et assez proche de 1, on a ln x >
2(x−1)
x+1
,
– pour tout x < 1 et assez proche de 1, on a ln x <
2(x−1)
x+1
.
la courbe de f et celle du logarithme ont la
même tangente en (1,0), mais les deux
courbes se croisent.
5.2 ÉTUDE LOCALE D’UNE FONCTION
Dérivabilité en un point
Soit f une fonction définie au voisinage de a. Pour étudier si f est dérivable en a lorsqu’on ne peut pas pratiquer au point a les formules de
dérivation, il faut revenir à la définition de la dérivée et étudier la limite
de
f (a+t)− f (a)
t
quand t tend vers 0. Pour cela, on calcule le développement limité de f à l’ordre 1 en a.
Supposons f continue en a. D’après la proposition page 47, f est dérivable en a si et seulement si f a un développement limité à l’ordre 1 en a,
et dans ce cas, le développement limité est
f (a + t) = f (a) + f
(a)t + o(t)
On a donc la proposition suivante.
5.2 • Étude locale d’une fonction
85
y = f(x)
1
– 2
y
x
y = ln x
y = ln x
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