Puisque lim
t→0
o(t
k )/t
k = 0, on a lim
t→0
a k + o(t
k )/t
k
= a k = / 0. D’après
la proposition précédente, a k + o(t
k )/t
k
a le signe de a k pour tout t est
assez proche de 0. Par conséquent, f (a+t) a le signe de a k t
k
pour tout
t assez proche de 0. En posant x = a+t, cette propriété se formule : f (x)
a le signe de a k (x−a)
k
pour tout x assez proche de a. Enonçons ce
qu’on vient de montrer.
Proposition. Soit f une fonction ayant au point a un développement
limité f (a+t) = ct
k + o(t
k ) , où c = / 0. Alors pour tout x assez proche de a, f (x) a le signe de c(x−a)
k
.
Précisons ce résultat.
® Si l’entier k est pair, alors pour tout x assez proche de a, f (x) a le
signe de c.
® Si k est impair, f (x) a le signe de c pour tout x > a assez proche de
a, et f (x) a le signe de −c pour tout x < a assez proche de a.
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Chapitre 5 • Étude locale d’une fonction
des allures locales
pour f (x) = x + o(x)
y =
x
x
y
allure locale pour
f (x) = −x
2 + o(x
3 )
x
y
allure focale pour
f (x) = −x
3 + o(x
3 )
x
y
y = x
x
y
Exemple. Pour tout x > 0, posons f (x) =
2(x−1)
x+1
. On veut étudier le signe
de la différence ϕ(x) = ln x − f (x) pour tout x assez proche de 1.
On a ϕ(1) = ln 1 − f (1) = 0. Ecrivons les développements limités de ln
et de f au point 1 :
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