5.1 SIGNE D’UNE FONCTION AU VOISINAGE D’UN POINT
Voici la propriété-clef qu’on utilisera tout au long du chapitre.
Proposition. Soit u une fonction telle lim
x→a
u(x) = , où est un nombre réel non nul. Alors pour tout x assez proche de a, u(x) a le signe
de .
Démonstration. Supposons par exemple > 0 et choisissons un nombre ε tel
que 0 < ε < . Par définition de la limite, on sait que pour tout x assez proche
de a, on a − ε < u(x) < + ε. Puisque − ε > 0, il s’ensuit que pour tout
x assez proche de a, on a u(x) > 0. On raisonne de même si < 0 .
J
Soit f une fonction ayant au point a un développement limité à l’ordre
n. Supposons que dans ce développement, il y a un monome non nul de
plus bas degré :
f (a + t) = a k t
k + a k+1 t
k+1 + · · · + a n t
n + o(t
n ), où a k = / 0 et n k.
En tronquant à l’ordre k, il vient
f (a + t) = a k t
k + o(t
k ) = t
k
a k +
o(t
k )
t k
5
CHAPITRE
Étude locale
d’une fonction
Dans ce chapitre, nous utilisons les développements limités pour étudier
l’allure d’une courbe au voisinage d’un point. Nous saurons en particulier
déterminer la position de la courbe par rapport à la tangente, et aussi par
rapport à une asymptote oblique.
OBJECTIFS
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