Pour que cette fonction soit o(x
4 ) au voisinage de 0, il faut et il suffit
que a = 1/6. On a donc sin x =
x
1 + (1/6)x 2 + o(x
4 ).
4.6 a) La fonction u : x → 1+bx+cx
2
est continue et prend la valeur
1 en 0, donc il existe un intervalle ouvert I contenant 0 tel que
1+bx+cx
2 = / 0 pour tout x ∈ I (proposition page 83). Puisque u est
dérivable autant de fois qu’on veut sur I, il en va de même de la fonction
f : x → 1/u(x) . La fonction f a donc un développement limité à l’ordre n au point 0.
b) Le développement limité de f à l’ordre 1 au point 0 est
1
1+bx+cx 2 = 1 − bx + o(x), donc a 0 = 1 et a 1 = −b. On a pour tout
x ∈ I
1 = (1 + bx + cx
2 )
a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + · · · + a n x
n + o(x
n )
Soit k un entier tel que 2 k n . Dans le produit de droite, le coefficient de x
k
est a k + ba k−1 + ca k−2 . Or dans le développement limité de
la fonction constante x → 1, le coefficient de x
k
est nul. On en déduit
a k + ba k−1 + ca k−2 = 0
c) D’après b), on a
a 0 = 1 , a 1 = −1 et a k = −a k−1 − a k−2 si 2 k n.
En particulier a 2 = −a 1 − a 0 = 0. Les égalités demandées sont donc
vraies si p = 0. Si k 3, alors d’après la relation de récurrence, on a
a k = −a k−1 − a k−2 = −[−a k−2 − a k−3 ] − a k−2 = a k−3
Si p est un entier tel que 0 3 p n−2, il vient donc
a 3 p = a 0 = 1 , a 3 p+1 = a 1 = −1 et a 3 p+2 = a 2 = 0
d) On a 1 − (3/2)x + (1/2)x
2 = (1/2)(1 − x)(2 − x) . La décomposition de
1
1−(3/2)x+(1/2)x 2 =
2
(1−x)(2−x) en éléments simples est
1
1 − (3/2)x + (1/2)x 2 =
2
1 − x
−
2
2 − x
80
Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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4 ) au voisinage de 0, il faut et il suffit
que a = 1/6. On a donc sin x =
x
1 + (1/6)x 2 + o(x
4 ).
4.6 a) La fonction u : x → 1+bx+cx
2
est continue et prend la valeur
1 en 0, donc il existe un intervalle ouvert I contenant 0 tel que
1+bx+cx
2 = / 0 pour tout x ∈ I (proposition page 83). Puisque u est
dérivable autant de fois qu’on veut sur I, il en va de même de la fonction
f : x → 1/u(x) . La fonction f a donc un développement limité à l’ordre n au point 0.
b) Le développement limité de f à l’ordre 1 au point 0 est
1
1+bx+cx 2 = 1 − bx + o(x), donc a 0 = 1 et a 1 = −b. On a pour tout
x ∈ I
1 = (1 + bx + cx
2 )
a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + · · · + a n x
n + o(x
n )
Soit k un entier tel que 2 k n . Dans le produit de droite, le coefficient de x
k
est a k + ba k−1 + ca k−2 . Or dans le développement limité de
la fonction constante x → 1, le coefficient de x
k
est nul. On en déduit
a k + ba k−1 + ca k−2 = 0
c) D’après b), on a
a 0 = 1 , a 1 = −1 et a k = −a k−1 − a k−2 si 2 k n.
En particulier a 2 = −a 1 − a 0 = 0. Les égalités demandées sont donc
vraies si p = 0. Si k 3, alors d’après la relation de récurrence, on a
a k = −a k−1 − a k−2 = −[−a k−2 − a k−3 ] − a k−2 = a k−3
Si p est un entier tel que 0 3 p n−2, il vient donc
a 3 p = a 0 = 1 , a 3 p+1 = a 1 = −1 et a 3 p+2 = a 2 = 0
d) On a 1 − (3/2)x + (1/2)x
2 = (1/2)(1 − x)(2 − x) . La décomposition de
1
1−(3/2)x+(1/2)x 2 =
2
(1−x)(2−x) en éléments simples est
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1 − (3/2)x + (1/2)x 2 =
2
1 − x
−
2
2 − x
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