1
x α
√ x−
√
sin x
=
√ x
x α
1 −
√
sin x
√ x
= x
1/2−α
1 −
sin x
x
1/2
On a les développements limités en 0 :
sin x
x
=
1
x
x−
1
3!
x
3 + o(x
3 )
= 1 −
1
6
x
2 + o(x
2 )
sin x
x
1/2
=1 −
1
2
1
6
x
2 + o(x
2 ) = 1 −
1
12
x
2 + o(x
2 )
1 −
sin x
x
1/2
=
1
12
x
2 + o(x
2 ) =
1
12
x
2 +
1
12
x
2 ε(x) , où lim
x→0
ε(x) = 0.
Par suite
1
x α
√ x−
√
sin x
=
1
12
x
1/2−α x
2 +x
2 ε(x)
=
1
12
x
5/2−α
1 + ε(x)
et l’on en déduit lim
x→0
x>0
1
x α
√ x−
√
sin x
=
0
si α < 5/2
1/12 si α = 5/2
+∞ si α > 5/2
4.4 a) Posons f (x) =
a
x +b
x
2
1/x
pour tout x > 0, de sorte que
n
√
a +
n
√
b
2
n
= f (1/n)
Puisque 1/n tend vers 0, utilisons le développement limité de l’exponentielle au point 0:
a
x = e
(ln a)x = 1 + (ln a)x + o(x)
b
x = e
(ln b)x = 1 + (ln b)x + o(x)
a
x +b
x
2
= 1 +
ln a+ln b
2
x + o(x)
D’après le développement limité ln(1+x) = x + o(x) au point 0, il
vient
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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