Dans la dernière expression, le numérateur tend vers 2 et le dénominateur vers 1. On a donc lim
x→0
2 tan x − sin(2x)
(sin x) 3
= 2.
b) Il s’agit d’une forme indéterminée «
0
0 ». Calculons le développement
limité de 1−tan x et de cos 2x à l’ordre 1 au point π/4. En posant
x = π/4 + t, on a :
tan(π/4 + t) = 1 +
tan
(π/4)
t + o(t) = 1 + 2t + o(t)
1−tan(π/4 + t) = −2t + o(t)
cos
2(π/4+t)
= cos(π/2+2t) = −sin(2t) = −2t + o(t)
On en déduit
lim
t→0
1−tan(π/4 + t)
cos(π/2+2t)
= lim
t→0
−2t + o(t)
−2t + o(t)
= lim
t→0
−2 + o(t)/t
−2 + o(t)/t
= 1
d’où
lim
x→π/4
1−tan x
cos(2x)
= 1 .
c) On a le développement limité au point 0 :
Arctan x = x−
1
3
x
3 + o(x
3 ) ,
d’où
Arctan x
x
= 1 −
1
3
x
2 + o(x
2 )
ln
Arctan x
x
= −
1
3
x
2 + o(x
2 )
1
x 2 ln
Arctan x
x
= −
1
3
+ o(1)
Ainsi lim
x→0
1
x 2 ln
Arctan x
x
= −
1
3 , et en prenant l’exponentielle, on en
déduit lim
x→0
Arctan x
x
1/x 2
= e
−1/3
.
d) Remarquons que pour x ∈ ]0,π/2[, on a bien sin x > 0. En mettant
√ x en facteur, il vient
Solutions
77
9782100545636-Liret-C04.qxd 31/03/10 10:32 Page 77