En soustrayant le second du premier, le terme constant et le terme en x
2
se simplifient et il reste e
x − e
−x = 2x + 2
1
3! x
3 + o(x
3 ) . D’où
sh x =
1
2
(e
x +e
−x ) = x +
1
3!
x
3 + o(x
3 )
b) (ii) Le développement limité de cos x à l’ordre 5 en 0 est
cos x = 1−
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 + o(x
5 )
Posons cos x = 1 − u(x) , c’est-à-dire
u(x) = 1 − cos x =
1
2!
x
2 −
1
4!
x
4 + o(x
5 )
On a u(0) = 0 et
√
cos x =
√
1 − u(x).
Écrivons le développement de la composée
√
1 − u(x) à l’ordre 5.
Puisque le premier terme non nul du développement de u(x) est de degré
2, il suffit d’utiliser le développement limité de
√
1−x à l’ordre 2.
√
1−x =1 −
1
2
x −
1
8
x
2 + o(x
2 )
1−u(x) =1 −
1
2
1
2!
x
2 −
1
4!
x
4
−
1
8
1
2!
x
2 −
1
4!
x
4
2
4
+ o(x
5 )
=1 −
1
4
x
2 +
1
2
1
4!
x
4 −
1
8
1
4
x
4 + o(x
5 )
Finalement,
√
cos x = 1 −
1
4
x
2 −
1
96
x
4 + o(x
5 ) .
b) (ii) Le développement limité de
√
1+x à l’ordre 3 en 0 est
√
1+x = 1 +
1
2
x −
1
8
x
2 +
1
16
x
3 + o(x
3 )
On a
1 +
√
1+x = 2 + u(x) ,avec u(x) =
1
2
x −
1
8
x
2 +
1
16
x
3 + o(x
3 )
et il vient
1 +
√
1+x =
2 + u(x) =
√
2
1 +
u(x)
2
( * )
Solutions
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