sin x
cos x
=
x −
1
3!
x
3 +
1
5!
x
5
1 +
1
2
x
2 +
5
24
x
4
+ o(x
5 )
= x + x
3
−
1
3!
+
1
2!
+ x
5
1
5!
+
−
1
3!
1
2
+
5
24
+ o(x
5 )
ou encore
tan x = x +
1
3
x
3 +
2
15
x
5 + o(x
5 )
Puisque la fonction tangente est dérivable autant de fois qu’on veut en
0, on en déduit que les coefficients de x
3
, x
4
et x
5
sont (page 48) :
1
3
=
tan
(3) (0)
3!
donc tan
(3) (0) =
1
3
× 3! = 2
0 =
tan
(4) (0)
4!
donc tan
(4) (0) = 0
2
15
=
tan
(5) (0)
5!
donc tan
(5) (0) =
2
15
× 5! = 16.
4.2 a) Calculons le développement limité de f (x) à l’ordre 4 en 0. On a
sin(x+x
2 ) = (x + x
2 ) −
1
3!
(x + x
2 )
3 4 + o(x
4 )
= x + x
2 −
1
3!
(x
3 + 3x
4 ) + o(x
4 )
sin(x+x
2 ) = x + x
2 −
1
6
x
3 −
1
2
x
4 + o(x
4 )
On en déduit
f
(0) = 1, f
(0) = (2!) × 1 = 2, f
(3) (0) = (3!) × (−1/6) = −1
et f
(4) (0) = (4!) × (−1/2) = −12 .
b) (i) On part des développements limités
e
x = 1+x+
1
2!
x
2 +
1
3!
x
3 + o(x
3 )
e
−x = 1−x+
1
2!
x
2 −
1
3!
x
3 + o(x
3 )
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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