d) On suppose b = −3/2 et c = 1/2. Calculer a k pour tout entier k tel
que 0 k n (on pourra décomposer
1
1−(3/2)x+(1/2)x 2 en éléments simples).
SOLUTIONS
4.1 On a tan x =
sin x
cos x et les développements limités à l’ordre 5 en 0 :
sin x = x −
1
3!
x
3 +
1
5!
x
5 + o(x
5 )
cos x = 1 −
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 + o(x
5 )
Posons
1
cos x
=
1
1−u(x)
,
où u(x) = 1−cos x =
1
2!
x
2 −
1
4!
x
4 + o(x
5 ).
Puisque u(0) = 0, on peut développer
1
1−u(x) en utilisant le développement de
1
1−x au point 0. En posant B(x) =
1
2! x
2 −
1
4! x
4
, il vient
1
1−u(x)
= 1 + B(x) + B(x)
2 5 + o(x
5 )
car les polynômes B(x)
3
, B(x)
4
et B(x)
5
étant multiples de x
6
, leur
tronqué à l’ordre 5 est nul. On a B(x)
2 = x
4
1
2! −
1
4! x
2
2 , donc
B(x)
2 5 = x
4
1
2!
2 =
1
4 x
4
et
1
cos x
= 1 +
1
2!
x
2 −
1
4!
x
4
+
1
4
x
4 + o(x
5 )
= 1 +
1
2
x
2 +
5
24
x
4 + o(x
5 )
Faisons le produit avec le développement de sin x :
Solutions
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