EXERCICES
4.1 Calculer le développement limité de la fonction x → tan x à l’ordre
5 au point 0. En déduire la valeur des nombres dérivés tan
(3) (0),
tan
(4) (0) et tan
(5) (0).
4.2 a) Posons f (x) = sin(x+x
2 ). Calculer f
(k) (0) pour 1 k 4 .
b) Calculer les développements limités des fonctions suivantes au point
0 :
(i) sh x à l’ordre 3.
(ii)
√
cos x à l’ordre 5.
(iii)
1+
√
1+x à l’ordre 3.
4.3 Calculer les limites suivantes :
lim
x→0
2 tan x−sin(2x)
(sin x) 3
lim
x→π/4
1−tan x
cos(2x)
lim
x→0
Arctan x
x
1/x 2
d) lim
x→0
x>0
1
x α
√ x−
√
sin x
, où α > 0
4.4 Calculer la limite des suites suivantes :
(a)
n
√
a +
n
√
b
2
n
, où a > 0 et b > 0
cos
1
n
n 2
4.5 Trouver un nombre a tel que sin x =
x
1+ax 2 + o(x
4 ) au voisinage
de 0.
4.6 Posons f (x) =
1
1 + bx + cx 2 , où b et c sont des nombres et c = / 0.
Soit n un entier au moins égal à 2.
a) Montrer que f a un développement limité à l’ordre n au point 0.
b) On note f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n + o(x
n ) le développement
limité de f à l’ordre n au point 0. Montrer que a 0 = 1, a 1 = −b et que
les coefficients vérifient la relation a k = −ba k−1 −ca k−2 pour tout
entier k tel que 2 k n .
c) On suppose b = c = 1. Montrer que a 3 p = 1, a 3 p+1 = −1 et
a 3 p+2 = 0 pour tout entier p tel que 0 3 p n−2.
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
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