Il vient donc :
1−cos (ax)
ch(bx)−1
=
(a
2
/2)x
2 + o(x
2 )
(b 2 /2)x 2 + o(x 2 )
=
x
2
a
2
/2 +
o(x
2 )
x 2
x 2
b 2 /2 +
o(x
2 )
x 2
=
a
2
/2 +
o(x
2 )
x 2
b 2 /2 +
o(x
2 )
x 2
Dans la dernière expression, les rapports
o(x 2 )
x 2 tendent vers 0 quand x tend
vers 0, donc le numérateur tend vers a
2
/2 et le dénominateur vers b
2
/2. On
en déduit
lim
x→0
1 − cos (ax)
ch(bx) − 1
=
a
2
b 2
Exemple 2. Calculer lim
x→+∞
x
2
e
1
x − e
1
x+1
.
Il s’agit d’une forme indéterminée « ∞×0 ». En posant t = 1/x, on a
1
x+1
=
t
1+t
et la limite demandée est
lim
t→0
t>0
1
t 2
e
t − e
t
1+t
Calculons le développement limité à l’ordre 2 au point 0 du terme entre
parenthèses.
e
t = 1 + t +
1
2
t
2 + o(t
2 )
t
1+t
= t
1 − t + o(t)
= t − t
2 + o(t
2 )
e
t
1+t = 1 + (t−t
2 ) +
1
2
(t−t
2 )
2 2 + o(t
2 )
= 1 + t − t
2 +
1
2
t
2 + o(t
2 ) = 1 + t −
1
2
t
2 + o(t
2 )
donc e
t − e
t
1+t = t
2 + o(t
2 ) et par suite
1
t 2
e
t − e
t
1+t
= 1 + o(1).
Puisque o(1) est par définition une fonction qui tend vers 0 quand t tend
vers 0, on en déduit
lim
x→+∞
x
2
e
1
x − e
1
x+1
= lim
t→0
t>0
1
t 2
e
t − e
t
1+t
= 1
Exemple 3. Calculer lim
x→1
x>1
1+x
3−x
1
(x−1) 2
et lim
x→1
x<1
1+x
3−x
1
(x−1) 2
.
Si x ∈]−1,3[,
1+x
3−x
est positif, donc l’expression dont on veut la limite est
bien définie au voisinage de 1.C’est un forme indéterminée « 1
∞ ».En prenant
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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