CONSEILS
Pour calculer un développement limité à l’ordre n d’une fonction f :
® Procédez par étapes en commençant par développer les différentes fonctions qui composent f ; tous ces développements doivent absolument être
au même ordre n.
® Si vous calculez un développement limité de f ◦ g en 0 à partir des développements de f et g en 0, n’oubliez pas de vérifier la condition
g(0) = 0.
® Disposez clairement vos calculs : vous y repérerez plus facilement les
fautes éventuelles.
® Si les calculs conduisent à une diminution de l’ordre (par exemple à
cause d’une division par x dans un développement en 0), reprendre
depuis le début avec des développements à un ordre plus élevé.
® Si l’on intègre un développement limité ou si l’on multiplie par x un
développement en 0, on gagne un ordre ; en multipliant par x
2
, on gagne
deux ordres, etc.
4.3 CALCUL DE LIMITES
Quand une limite se présente sous forme indéterminée, un développement limité permet le plus souvent de trouver la réponse.
Exemple 1. Calculer lim
x→0
1 − cos (ax)
ch(bx) − 1
, où a ∈ R et b ∈ R
∗ .
C’est une forme indéterminée «
0
0
». Ecrivons les développements limités de
1−cos (ax) et de ch(bx)−1 à l’ordre 2 au point 0.
cos(ax) = 1 −
1
2!
(ax)
2 + o(x
2 )
1 − cos(ax) =
1
2
a
2 x
2 + o(x
2 )
e
bx = 1 + bx +
1
2!
(bx)
2 + o(x
2 )
e
−bx = 1 − bx +
1
2!
(−bx)
2 + o(x
2 )
ch(bx) =
1
2
(e
bx + e
−bx ) = 1 +
1
2!
(bx)
2 + o(x
2 )
ch(bx) − 1 =
1
2
b
2 x
2 + o(x
2 )
4.3 • Calcul de limites
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