Puisque B(x) est multiple de x
2 ,les polynômes B(x)
4 , B(x)
5 et B(x)
6 sont
multiples de x
8 , donc leur tronqué au degré 6 est nul. On obtient
A
B(x)
6 =
−
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 −
1
6!
x
6
−
1
2
1
4
x
4 −
1
24
x
6
+
1
3
−
1
8
x
6
= −
1
2
x
2 −
1
12
x
4 −
1
45
x
6
et finalement
ln (cos x) = −
1
2
x
2 −
1
12
x
4 −
1
45
x
6 + o(x
6 )
Exemple 3. Développement limité de
x
sin x
à l’ordre 4 au point 0.
Ecrivons le développement limité de sin x à l’ordre 5 en 0 (le choix de l’ordre 5 sera expliqué en fin de calcul).
sin x = x −
1
3!
x
3 +
1
5!
x
5 + o(x
5 )
= x
1 −
1
3!
x
2 +
1
5!
x
4 + o(x
4 )
car xo(x
4 ) = o(x
5 )
En posant u(x) =
1
3!
x
2 −
1
5!
x
4 − o(x
4 ), il vient donc
x
sin x
=
1
1 − u(x)
On a u(0) = 0 et u(x) = B(x) + o(x
4 ), où B(x) =
1
3!
x
2 −
1
5!
x
4 .
Le développement de
1
1−u(x)
s’obtient en composant le développement
limité de x →
1
1−x
et celui de u. Puisque B(x) est multiple de x
2 , il suffit
de développer
1
1−x
à l’ordre 2 :
x
sin x
= 1 + B(x) + B(x)
2 2 + B(x)
3 3 + B(x)
4 4 + o(x
4 )
= 1 +
1
3!
x
2 −
1
5!
x
4
+
1
3!
2
x
4 + o(x
4 )
car B(x)
3 et B(x)
4 sont multiples de x
6 . D’où le développement limité
cherché :
x
sin x
= 1 +
1
6
x
2 +
7
360
x
4 + o(x
4 )
Il a fallu partir du développement de sin x à l’ordre 5, car dans le quotient
x
sin x
, on a perdu un ordre.
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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