– le coefficient de x
2 est
1
2!
×1 + 1×
−
1
2!
= 0 ,
– le coefficient de x
3 est −
1
3!
×1 + (−1)×
−
1
2!
= −
1
6
+
1
2
=
1
3
,
– le terme en x
4 est
1
4!
×1 +
1
2!
×
−
1
2!
+ 1×
1
4!
=
1
24
−
1
4
+
1
24
= −
1
6
.
On a donc e
−x cos x = 1 − x +
1
3
x
3 −
1
6
x
4 + o(x
4 ).
Exemple 2. Développement limité de h(x) = ln cos x à l’ordre 6 en 0.
Tout d’abord, la fonction h est définie au voisinage de 0 puisque cos x > 0
pour tout x ∈]−π/2,π/2[ . De plus, la fonction cosinus étant paire, h est
paire : dans son développement limité, tous les monomes d’exposant
impairs ont donc un coefficient nul. On connaît les développements limités
suivant à l’ordre 6 en 0 :
ln(1+x) = x −
1
2
x
2 +
1
3
x
3 −
1
4
x
4 +
1
5
x
5 −
1
6
x
6 + o(x
6 )
cos x = 1 −
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 −
1
6!
x
6 + o(x
6 )
Posons f (x) = ln(1+x) et g(x) = cos x − 1, de sorte que
g(0) = 0 et h(x) = ln(cos x) = ln
1+g(x)
= f
g(x)
On a
g(x) = −
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 −
1
6!
x
6 + o(x
6 ) = B(x) + o(x
6 )
f (x) = A(x) + o(x
6 )
où l’on a noté :
A(x) = x −
1
2
x
2 +
1
3
x
3 −
1
4
x
4 +
1
5
x
5 −
1
6
x
6
B(x) = −
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 −
1
6!
x
6
Calculons les termes successifs de A
B(x)
en supprimant tous les monomes de degré supérieurs à 6 :
A
B(x)
6 = B(x) −
1
2
B(x)
2 6 +
1
3
B(x)
3 6 −
1
4
B(x)
4 6
+
1
5
B(x)
5 6 −
1
6
B(x)
6 6
B(x)
2 6 =
−
1
2!
2
x
4 + 2
−
1
2!
1
4!
x
6 =
1
4
x
4 −
1
24
x
6
B(x)
3 6 =
−
1
2!
3
x
6 = −
1
8
x
6
4.2 • Calcul des développements limités
67
9782100545636-Liret-C04.qxd 31/03/10 10:32 Page 67