Si l’on pose A(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x
2 + · · · +a n x
n
, on en déduit
A
g(x)
= a 0 +a 1 g(x)+a 2 g(x)
2 + · · · +a n g(x)
n
= a 0 + a 1 B(x) + a 2 B(x)
2 + · · · +a n B(x)
n n + o(x
n )
ou encore
A
g(x)
= A
B(x)
n + o(x
n )
(2)
Puisqu’on a supposé g(0) = 0, on a lim
x→0
g(x) = 0 et par suite
lim
x→0
ε 1
g(x)
= 0
Plus précisément, le développement de g s’écrit
g(x) = b 1 x + b 2 x
2 + · · · + b n x
n + x
n ε 2 (x)
= x
b 1 + b 2 x + · · · + b n x
n−1 + x
n−1 ε 2 (x)
= xu(x) , où u(x) a pour limite b 1 quand x tend vers 0.
On en déduit g(x)
n = x
n u(x)
n
et
g(x)
n ε 1
g(x)
= x
n u(x)
n ε 1
g(x)
= x
n v(x) , où lim
x→0
v(x) = 0.
Cela montre que :
g(x)
n ε 1
g(x)
= o(x
n )
(3)
En reportant (2) et (3) dans (1) et en utilisant que la somme de deux fonctions
o(x
n ) est o(x
n ), on obtient f
g(x)
= A
B(x)
n + o(x
n ) .
J
Exemple 1. Développement limité de e
−x
cos x à l’ordre 4 en 0.
On a les développements limité à l’ordre 4 :
e
−x = 1 − x +
1
2!
x
2 −
1
3!
x
3 +
1
4!
x
4 + o(x
4 )
cos x = 1 −
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 + o(x
4 )
Dans le produit des polynômes
A(x) = 1 − x +
1
2!
x
2 −
1
3!
x
3 +
1
4!
x
4 et B(x) = 1 −
1
2!
x
2 +
1
4!
x
4 ,
on calcule les coefficients des puissances successives de x en s’arrètant à
l’ordre 4 :
– le terme constant est 1×1 = 1,
– le coefficient de x est −1×1 = −1,
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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