Développement limité d’une somme, d’un produit
ou d’une composée de fonctions
Théorème. Soit f et g des fonctions ayant au point 0 un développement limité au même ordre n 1 :
f (x) = A(x) + o(x
n )
et
g(x) = B(x) + o(x
n )
où A et B sont des polynômes de degré au plus n. Alors
® le développement limité de la fonction somme f +g à l’ordre n en
0 est f (x) + g(x) = A(x) + B(x) + o(x
n ) ;
® le développement limité de la fonction produit f g à l’ordre n en
0 est f (x)g(x) = A(x)B(x) n + o(x
n ).
® Si g(0) = 0, alors le développement limité de la composée f ◦ g à
l’ordre n en 0 est ( f ◦ g)(x) = f
g(x)
= A
B(x)
n + o(x
n ) .
Ainsi, les règles de calcul sur les développements limités à l’ordre n sont
simples :
– Pour calculer la somme de deux développements limités à l’ordre
n 1, on ajoute les parties polynômes.
– Pour calculer le produit de deux développements limités à l’ordre n, on
multiplie les parties polynômes et l’on tronque le résultat à l’ordre n.
– Pour composer deux développements limités à l’ordre n, on compose
les parties polynômes et l’on tronque le résultat à l’ordre n.
Démonstration. Pour le premier point, il suffit de remarquer que la somme de
deux fonctions o(x
n ) est o(x
n ). Ecrivons
f (x) = A(x) + x
n ε 1 (x) et g(x) = B(x) + x
n ε 2 (x)
où ε 1 (x) et ε 2 (x) tendent vers 0 quand x tend vers 0. Alors
f (x)g(x) = A(x)B(x) + x
n A(x)ε 2 (x)+B(x)ε 1 (x)+x
n ε 1 (x)ε 2 (x)
Le terme entre crochets tend vers 0 quand x tend vers 0, donc
f (x)g(x) = A(x)B(x) + o(x
n ) . On a aussi A(x)B(x) = A(x)B(x) n
+o(x
n ) , d’où finalement f (x)g(x) = A(x)B(x) n + o(x
n ) .
Pour la composée f
g(x)
, on a
f
g(x)
= A
g(x)
+ g(x)
n ε 1
g(x)
(1)
Pour tout entier k 1, le développement limité à l’ordre n de g(x)
k
est
g(x)
k = B(x)
k n + o(x
n ) (développement d
un produit)
4.2 • Calcul des développements limités
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