4.2 CALCUL DES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Tronquer un polynôme
Soit A(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n
un polynôme et soit p un entier tel
que 0 p n. Supprimons dans A tous les monomes de degré supérieurs à p. On obtient le polynôme
A p = a 0 + a 1 x + · · · + a p x
p
On dit que A p est un tronqué du polynôme A.
Exemple. Si A(x) = 1+2x + 3x
2 + 5x
4 + 7x
6 , alors
A 5 (x) = A 4 (x) = 1+2x+3x
2 +5x
4
et A 1 (x) = 1+2x
Tronquer un développement limité
Soit f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n + o(x
n ) le développement limité
d’une fonction f à l’ordre n en 0. Pour tout entier p tel que 0 p n,
le développement limité de f à l’ordre p en 0 est
f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a p x
p + o(x
p )
= a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n p + o(x
p )
On dit qu’on a tronqué à l’ordre p le développement de f.
Démonstration. Si p = n, il n’y a rien à montrer. Supposons p < n. Écrivons
a 0 +a 1 x+ · · · +a n x
n
= a 0 +a 1 x+ · · · +a p x
p +x
p (a p+1 x+ · · · +a n x
n− p )
= a 0 +a 1 x+ · · · +a n x
n p + x
p ε(x)
où l’on a posé ε(x) = a p+1 x + · · · + a n x
n− p
. On a lim
x→0
ε(x) = 0, donc
x
p ε(x) = o(x
p ) et
a 0 +a 1 x+ · · · +a n x
n = a 0 +a 1 x+ · · · +a n x
n p + o(x
p )
Par suite, on a aussi
f (x) = a 0 +a 1 x+ · · · +a n x
n + o(x
n ) = a 0 +a 1 x+ · · · +a n x
n p + o(x
p )
car toute fonction o(x
n ) est o(x
p ) et la somme de deux fonctions o(x
p ) est
o(x
p ).
J
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Chapitre 4 • Calcul des développements limités
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