4.1 QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA NOTATION o( )
Les propriétés de la notation o( ) introduite au chapitre pécédent résultent des règles de calcul sur les limites.
Propriétés
a) Si f (x) =
x→0
o
g(x)
et si g(x) =
x→0
o
h(x)
, alors f (x) =
x→0
o
h(x)
.
b) Si f (x) =
x→0
o(x
n ), alors f (x) =
x→0
o(x
p ) pour tout p n.
c) Si f (x) =
x→0
o(x
n ) et si g(x) =
x→0
o(x
n ), alors f (x)+g(x) =
x→0
o(x
n ) .
d) Si f (x) =
x→0
o(x
n ) et si g(x) =
x→0
o(x
p ), alors f (x)g(x) =
x→0
o(x
n+ p ).
e) Si f (x) =
x→0
o(x
n ), alors pour tout p ∈ Z, x
p
f (x) =
x→0
o(x
n+ p ).
Démonstration. Pour (a), on écrit
f (x)
h(x)
=
f (x)
g(x)
g(x)
h(x)
et l’on sait que le produit
de deux fonctions tendant vers 0 tend vers 0. Pour (c), on utilise que la somme
de deux fonctions tendant vers 0 tend vers 0. Pour (b), on a
f (x)
x p =
f (x)
x n x
n− p
et
l’on peut supposer n > p (si n = p, il n’y a rien à montrer) ; alors
lim
x→0
x
n− p = 0 ; si
f (x)
x n tend vers 0, il en va donc de même de
f (x)
x p .La propriété
(d) s’obtient par l’égalité
f (x)g(x)
x n+ p =
f (x)
x n
g(x)
x p . Enfin, on a (e) en écrivant
x p f (x)
x n+ p =
f (x)
x n (voir aussi l’exercice 3.1 page 55).
J
4
CHAPITRE
Calcul
des développements
limités
Nous allons établir les règles de calcul sur les développements limités et
montrer comment ceux-ci permettent de calculer très efficacement les
limites.
OBJECTIFS
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