c) Puisque F est dérivable autant qu’on veut en 0, on sait que dans le
développement ci-dessus,
– le coefficient de x
2
est
F (0)
2! , donc F
(0) = 0 ,
– le coefficient de x
3
est
F (3) (0)
3! , donc F
(3) (0) = 3!
−
1
3
= −2,
– le coefficient de x
5
est
F (5) (0)
5! , donc F
(5) (0) = 5!
1
10
= 12.
3.6 a) Puisque lim
x→0
(−1/x
2 ) =−∞ , on a lim
x→0
e
−1/x 2 = 0 = f (0), donc
f est continue en 0. Comme f est continue sur R
∗
, on en déduit qu’elle
est continue sur R. De plus,
lim
x→0
f (x)− f (0)
x
= lim
x→0
e −1/x 2
|x| = lim
t→+∞
te
−t 2 = lim
u→+∞
√
ue
−u = 0
car on sait que, pour tout nombre α, lim
u→+∞
u
α
e
−u = 0. Cela montre que
f
(0) = 0. Comme f est dérivable sur R
∗
, il s’ensuit qu’elle est dérivable sur R.
b) Sur l’intervalle ]0,+∞[, la fonction x → x
2
est croissante et positive,
donc x → 1/x
2
est décroissante, x → −1/x
2
est croissante et donc f
est croissante. On a lim
x→+∞
e
−1/x 2 = 1, car lim
x→+∞
(1/x
2 ) = 0. La courbe
de f a donc, en +∞, une asymptote horizontale d’équation y = 1.
La fonction f étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
60
Chapitre 3 • Développement limité
1
x
c) Pour tout α ∈ R, on a
lim
x→0
|x|
α e
−1/x 2 = lim
t→+∞
t
−α e
−t 2 = lim
u→+∞
u
−α/2 e
−u = 0
d) Pour tout x = / 0, on a f
(x) = 2x
−3
e
−1/x 2 . Puisque f
(0) = 0 d’après la question (b), la propriété P(1) est vraie.
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