Soit n 1 un entier tel que P(n)est vraie. Pour tout x ∈ R
∗
, on a alors
f
(n) (x) − f
(n) (0)
x
=
x
−3n
U n (x)e
−1/x 2
x
= x
−3n−1 U n (x)e
−1/x 2
La fonction U n est continue et d’après (c), on sait que
lim
x→0
|x|
−3n−1
e
−1/x 2 = 0 , donc lim
x→0
f (n) (x)− f (n) (0)
x
= 0. Cela montre que
f
(n+1) (0) = 0. De plus, en dérivant f
(n) (x)pour tout x ∈ R
∗
, il vient
f
(n+1) (x) =
−3nx
−3n−1 U n (x) + x
−3n U
n (x)
+ 2x
−3 x
−3n U n (x)
e
−1/x 2
= x
−3n−3
−3nx
2 U n (x) + x
3 U
n (x) + 2U n (x)
e
−1/x 2
En posant U n+1 (x) = −3nx
2
U n (x) + x
3
U
n (x) + 2U n (x) pour tout
x ∈ R, on définit un polynôme U n+1 tel que f
(n+1) (x) =
x
−3(n+1)
U n+1 (x)e
−1/x 2 pour tout x ∈ R
∗
. La propriété P(n + 1) est
donc vraie.
D’après le principe de récurrence, P(n) est vraie quel que soit n 1.
e) D’après (d), la fonction f est dérivable autant de fois qu’on veut sur
R. Pour tout entier n 1, elle a donc, en tout point, un développement
limité à l’ordre n. Au point 0, le coefficient de x
k
dans ce développement
limité est
f (k) (0)
k!
= 0, car f
(k) (0) = 0. Le développement limité de f à
l’ordre n en 0 s’écrit donc f (x) = o(x
n ) : tous les coefficients sont nuls.
Solutions
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