c) On a e
1−x = e e
−x
. Le développement limité de e
−x
à l’ordre 3 au
point 0 s’obtient en changeant x en −x dans celui de e
x
:
e
−x = 1 + (−x) +
1
2!
(−x)
2 +
1
3!
(−x)
3 + o(x
3 )
= 1 − x +
1
2!
x
2 −
1
3!
x
3 + o(x
3 )
On obtient donc
e
1−x = e − ex +
e
2
x
2 −
e
6
x
3 + o(x
3 )
3.5 a) Posons f (x) = e
−x 2 pour tout x ∈ R. Puisque f est continue, la
fonction F est une primitive de f. Comme f est dérivable autant de fois
qu’on veut, on a F
= f , F
= f
et F
(k) = f
(k−1)
pour tout entier
k 2. La fonction F est donc dérivable autant de fois qu’on veut et par
suite, F possède en tout point un développement limité à n’importe quel
ordre n.
b) Le développement limité à l’ordre 3 de e
x
au point 0 est
e
x = 1 + x +
1
2!
x
2 +
1
3!
x
3 + o(x
3 )
En changeant x en −x
2
, on obtient
e
−x 2 = 1 − x
2 +
1
2!
x
4 −
1
3!
x
6 + o(x
6 )
Intégrons maintenant terme à terme pour avoir le développement de F,
en tenant compte de F(0) = 0 :
F(x) = x −
1
3
x
3 +
1
2! × 5
x
5 −
1
3! × 7
x
7 + o(x
7 )
La somme des deux derniers termes est o(x
6 ), car on a
1
3!×7 x
7 + o(x
7 ) = x
6
1
3!×7 x + x
o(x 7 )
x 7
et dans le crochet, chaque terme
tend vers 0 quand x tend vers 0. On en déduit que le développement
limité de F à l’ordre 6 au point 0 est
F(x) = x −
1
3
x
3 +
1
10
x
5 + o(x
6 )
La fonction x → e
−x 2 étant paire, sa primitive F qui s’annule en 0 est
impaire. On aurait donc pu prévoir que figurent seulement des termes
impairs dans la partie polynôme de ce développement limité.
Solutions
59
9782100545636-Liret-C03.qxd 31/03/10 10:08 Page 59