b) Chacune des fonctions x → x
3
et x → ln(1 + x) sont dérivables
autant de fois qu’on veut sur ] − 1,+∞[, donc aussi la fonction g. Dans
le développement limité de g, le coefficient de x
k
est donc
g (k) (0)
k! . On en
déduit
g
(0) = 2! × 0 = 0
g
(3) (0) = 3! × 0 = 0
g
(4) (0) = 4! × 1 = 24
g
(5) (0) = 5! × (−1/2) = −60
3.4 a) On a ln 2 + ln(1 + t/2) = ln
2(1 + t/2)
= ln(2 + t) . En
changeant t en t/2 dans le développement limité de ln(1 + t)à l’ordre 4
en 0, on obtient
ln(1 + t/2) =
t
2
−
1
2
t
2
2
+
1
3
t
2
3
−
1
4
t
2
4
+ o(t
4 )
d’où le développement limité demandé :
ln(2 + t) = ln 2 +
1
2
t −
1
8
t
2 +
1
24
t
3 −
1
64
t
4 + o(t
4 )
b) On a
√
4 − x =
√
4(1 − x/4) = 2
√
1 − x/4 . Le développement
limité à l’ordre 2 au point 0 de
√
1 − x est
√
1 − x = (1 − x)
1/2 = 1 +
1
2
(−x) +
1
2
1
2 − 1
2!
(−x)
2 + o(x
2 )
= 1 −
1
2
x −
1
8
x
2 + o(x
2 )
En changeant x en x/4 dans ce développement limité, on obtient
1 − x/4 = 1 −
1
2
x
4
−
1
2 3
x
2
4 2 + o(x
2 )
2
1 − x/4 = 2
1 −
1
2 3 x −
1
2 7 x
2 + o(x
2 )
et finalement
√
4 − x = 2 −
1
2 2 x −
1
2 6 x
2 + o(x
2 )
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Chapitre 3 • Développement limité
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