car, d’après l’exercice précédent, la fonction
1
x o(x
2 ) est o
x 2
x
= o(x).
La fonction f est continue en 0 et a un développement limité à l’ordre 1
en 0, donc f est dérivable en 0 et f
(0) est le coefficient de x : ainsi
f
(0) = −1/2. Puisque f est dérivable sur R
∗
, il s’ensuit que f est dérivable sur R.
c) Le développement limité de cos x à l’ordre 3 au point 0 est
cos x = 1 −
1
2
x
2 + o(x
3 )
On a donc
1 − cos x
x 2
=
1
x 2
1
2
x
2 + o(x
3 )
=
1
2
+
1
x 2 o(x
3 ) =
1
2
+ o(x) ( * )
Pour que g soit continue en 0, on doit avoir
g(0) = lim
x→0
1 − cos x
x 2
= lim
x→0
1
2
+ o(x)
=
1
2
car lim
x→0
o(x) = 0. Réciproquement, si l’on pose g(0) = 1/2, alors g est
continue en 0 et comme g est continue sur R
∗
, elle est continue sur R.
d) L’égalité ( * ) est le développement limité de g à l’ordre 1 au point 0.
La fonction g est donc dérivable en 0 et g
(0) = 0 car dans le développement, le coefficient de x est nul. Puisque g est dérivable sur R
∗
, elle
est dérivable sur R.
3.3 a) Le développement limité de ln(1 + x) à l’ordre 3 en 0 est
ln(1 + x) = x −
1
2
x
2 +
1
3
x
3 + o(x
3 )
Multiplions par x
3
:
g(x) = x
3
ln(1 + x) = x
4 −
1
2
x
5 +
1
3
x
6 + x
3 o(x
3 )
= x
4 −
1
2
x
5 +
1
3
x
6 + o(x
6 )
car d’après l’exercice 3.1, on a x
3
o(x
3 ) = o(x
6 ).
Solutions
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