a) Montrer que f est continue et dérivable sur R ; quelle est la valeur de
f
(0) ?
b) Montrer que f est croissante sur [0,+∞[. La courbe de f a-t-elle une
asymptote en +∞ ? Dessiner la courbe de f.
c) Montrer que pour tout α ∈ R, on a lim
x→0
|x|
α
f (x) = 0.
d) En raisonnant par récurrence, démontrer que pour tout entier n 1,
on a la propriété P(n)suivante :



il y a un polynôme U n tel que pour tout x ∈ R
∗
,
f
(n) (x)=x
−3n
U n (x)e
−1/x 2
f
(n) (0) = 0
e) Pour tout entier n 1, écrire le développement limité de f à l’ordre n
en 0.
SOLUTIONS
3.1 Par hypothèse, on a lim
x→0
u(x)
x n = 0. Par suite lim
x→0
x
p
u(x)
x n+ p = lim
x→0
u(x)
x n
= 0, donc x
p
u(x) =
x→0
o(x
n+ p ).
3.2 a) Puisque f doit être continue en 0, on doit avoir
f (0) = lim
x→0
ln(1 + x)
x
= lim
x→0
ln(1 + x) − ln 1
x
= ln
(1) = 1
Réciproquement, si l’on pose f (0) = 1, alors f est continue en 0 et
comme f est continue sur R
∗
, f est continue sur R.
b) Le développement limité de ln(1 + x) à l’ordre 2 au point 0 est :
ln(1 + x) = x −
1
2
x
2 + o(x
2 )
Il vient donc
f (x) =
1
x
x −
1
2
x
2 + o(x
2 )
= 1 −
1
2
x +
1
x
o(x
2 )
= 1 −
1
2
x + o(x)
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Chapitre 3 • Développement limité
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