EXERCICES
3.1 Soit u une fonction telle que u(x) =
x→0
o(x
n ), où n ∈ N.
Montrer que pour tout entier p ∈ Z, on a x
p
u(x) =
x→0
o(x
n+ p ).
3.2 a) Montrer qu’il existe une unique fonction continue f : R → R
telle que f (x) =
ln (1 + x)
x
pour tout x = / 0. Quelle est la valeur de
f (0) ?
b) Quel est le développement limité de f à l’ordre 1 au point 0. En
déduire que f est dérivable sur R. Quelle est la valeur de f
(0) ?
c) Montrer qu’il existe une unique fonction continue g : R → R telle
que g(x) =
1 − cos x
x 2
pour tout x = / 0. Quelle est la valeur de g(0) ?
d) Montrer que g est dérivable sur R. Quelle est la valeur de g
(0) ?
3.3 Posons g(x) = x
3
ln (1 + x).
a) Écrire le développement limité de g à l’ordre 6 en 0.
b) Montrer que g est dérivable autant de fois qu’on veut sur ] − 1,+∞[.
Calculer g
(k) (0) pour k = 2, 3, 4, 5.
3.4 a) Montrer que ln(2 + t) = ln 2 + ln (1 + t/2). En déduire le développement limité de ln(x) à l’ordre 4 au point 2.
b) Montrer que
√
4 − x = 2
√
1 − x/4 . En déduire le développement
limité de
√
4 − x à l’ordre 2 au point 0.
c) Écrire le développement limité de e
1−x
à l’ordre 3 au point 0.
3.5 Posons F(x) =
x
0
e
−t 2 dt.
a) Montrer que, pour tout n ∈ N, F a un développement limité à l’ordre
n au point 0.
b) Écrire le développement limité de F à l’ordre 6 au point 0.
c) Calculer F
(0), F
(3) (0) et F
(5) (0).
3.6 Soit f : R
∗ → R la fonction définie par
f (0) = 0 et f (x) = e
−1/x 2 pour tout x = / 0.
Exercices
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