On a f a (0)= f (a), f
a (0)= f
(a) et plus généralement f
(k)
a (0)= f
(k) (a)
pour tout entier k entre 1 et n. Le développement limité à l’ordre n de f a
au point 0 est donc bien
f (a + t) = f a (t)
= f (a) + f
a (0)t +
f
a (0)
2!
t
2 + · · · +
f
(n)
a (0)
n!
t
n + o(t
n ) .
Exemple. Écrivons le développement limité à l’ordre 3 de f (x) =
1
x
au
point 2. On a
f (2 + t) =
1
2 + t
=
1
2
1
1 + t/2
Le développement limité de
1
1+(t/2)
à l’ordre 3 au point 0 s’obtient en remplaçant t par t/2 dans celui de
1
1+t
:
1
1 + (t/2)
= 1 −
t
2
+
t
2
2
−
t
2
3
+ o(t
3 )
1
2 + t
=
1
2
1 −
t
2
+
t
2
2
−
t
2
3
+ o(t
3 )
1
2 + t
=
1
2
−
1
4
t +
1
8
t
2 −
1
16
t
3 + o(t
3 )
Cette égalité s’écrit aussi bien :
1
x
=
1
2
−
1
4
(x − 2) +
1
8
(x − 2)
2 −
1
16
(x − 2)
3 + (x − 2)
3 ε(x) ,
où lim
x→2
ε(x) = 0 .
CONSEIL
® Apprenez par coeur les premiers termes des développements limités
usuels.
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Chapitre 3 • Développement limité
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