3.4 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ EN UN POINT a
Soit f une fonction définie au voisinage de a sauf peut-être en a.
Alors la fonction t → f (a + t) est définie au voisinage de 0 sauf peutêtre en 0.
Définition. Si la fonction t → f (a + t) a un développement limité
à l’ordre n en 0 :
f (a + t) = p 0 + p 1 t + p 2 t
2 + · · · + p n t
n + o(t
n )
cette égalité s’appelle le développement limité de f à l’ordre n au
point a.
Écrivons o(t
n )=t
n ε(t), où lim
t→0
ε(t) = 0, et posons x = a + t ;
on a alors t = x − a et le développement limité prend la forme
f (x) = p 0 + p 1 (x − a) + p 2 (x − a)
2 + · · ·
+ p n (x − a)
n + (x − a)
n ε(x − a)
où lim
x→a
ε(x − a) = 0.
Les développements limités en un point a ont les mêmes propriétés
qu’au point 0 :
® Le développement limité de f au point a, s’il existe, est unique.
® Si f a un développement limité à l’ordre 0 en a, alors lim
x→a
f (x) est
égal au terme constant du développement.
® Supposons f continue en a. Alors f est dérivable en a si et seulement
si f a un développement limité à l’ordre 1 en a, et dans ce cas, le
développement est f (a + t) = f (a) + f
(a)t + o(t).
® Si f a des dérivées continues jusqu’à l’ordre n, alors f a pour développement limité à l’ordre n en a
f (a + t) = f (a) + f
(a)t +
f
(a)
2!
t
2 + · · · +
f
(n) (a)
n!
t
n + o(t
n )
Seule la dernière formule mérite une explication. Posons
f a (t)= f (a + t).
3.4 • Développement limité en un point a
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