® Écrivons le développement limité de
1
1+x 2 . Pour cela, on change x en
x
2
dans le développement limité à l’ordre n de
1
1+x et l’on obtient un
développement à l’ordre 2n :
1
1 + x 2 = 1 − x
2 + x
4 − · · · + (−1)
n−1
x
2n−2 + (−1)
n
x
2n + o(x
2n )
La fonction Arctan a pour dérivée
1
1+x 2 (page 11) et Arctan(0) = 0.
Par intégration terme à terme, on a donc le développement limité :
Arctan(x) = x −
x
3
3
+
x
5
5
− · · ·
+ (−1)
n−1 x
2n−1
2n − 1
+ (−1)
n x
2n+1
2n + 1
+ o(x
2n+1 )
La somme des deux derniers termes étant o(x
2n ), il vient
Arctan(x) = x −
x
3
3
+
x
5
5
− · · · + (−1)
n−1 x
2n−1
2n − 1
+ o(x
2n )
® La fonction Arcsin est une primitive de
1
√
1−x 2
= (1 − x
2 )
−1/2
(page 10). On a le développement limité
(1 + x)
−1/2 = 1 −
1
2
x +
−
1
2
−
1
2
− 1
2
x
2 + o(x
2 )
= 1 −
1
2
x +
3
8
x
2 + o(x
2 )
En changeant x en −x
2
, x
2
devient x
4
et il vient
(1 − x
2 )
−1/2 = 1 +
1
2
x
2 +
3
8
x
4 + o(x
4 )
Intégrons en tenant compte de Arcsin(0) = 0 :
Arcsin x = x +
1
6
x
3 +
3
40
x
5 + o(x
5 )
52
Chapitre 3 • Développement limité
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