cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
+ · · · + (−1)
n x
2n
(2n)!
+ o(x
2n+1 )
® La fonction sinus est une primitive de cosinus et sin(0) = 0. On
obtient donc le développement limité de sinus en intégrant terme à
terme celui de cosinus et en tenant compte de sin 0 = 0.
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
+ · · · + (−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
+ o(x
2n+2 )
® Soit α ∈ R. Posons f (x) = (1 + x)
α
pour tout x > −1.
Rappelons que par définition, on a (1 + x)
α = e
α ln(1+x)
.
La fonction f est dérivable autant de fois qu’on veut sur ] − 1,+∞[,
f
(x) = α(1 + x)
α−1
, f
(x) = α(α − 1)(1 + x)
α−2
et
f
(k) (x) = α(α − 1) · · · (α − k + 1)(1 + x)
α−k
pour tout entier k 1.
On a f
(k) (0) = α(α − 1) · · · (α − k + 1) , donc le dévelopement
limité de (1 + x)
α
à l’ordre n en 0 est :
(1 + x)
α = 1 + αx +
α(α − 1)
2!
x
2
+
α(α − 1)(α − 2)
3!
x
3 + · · ·
+
α(α − 1) · · · (α − n + 1)
n!
x
n + o(x
n )
L’exposant α peut être n’importe quel réel positif ou négatif.
Par exemple, si α = −1, on retrouve le développement de
1
1+x .
• Pour α = 1/2, on obtient le développement limité de
√
1 + x .
• Pour α = −1/2, on a le développement de
1
√
1+x
.
Un conseil. Pour se souvenir des coefficients, il suffit de penser à la
formule du binôme pour (1 + x)
m
, où m est entier positif :
le coefficient de x
k
est
m
k
=
m!
k! (m−k)! =
m(m−1)···(m−k+1)
k!
.
On remplace simplement m par α pour avoir les coefficients du développement limité de (1 + x)
α
.
3.3 • Les développements limités usuels
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