f (x) =
p(x) + o(x
n )
f (−x) = p(−x) + o(x
n )
Or les fonctions x → f (x) et x → f (−x) sont égales. Par unicité du développement limité, on en déduit que les fonctions polynômes x → p(x) et
x → p(−x) sont égales. Ainsi le polynôme p est pair.
On raisonne de même pour montrer que, si la fonction f est impaire, alors le
polynôme p aussi.
J
3.3 LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS
® Pour tout x = / 1, on a l’identité
1
1−x = 1 + x + x
2 + · · · + x
n +
x n+1
1−x . En raisonnant comme dans l’exemple page 46, on en déduit le
développement limité à l’ordre n :
1
1 − x
= 1 + x + x
2 + · · · + x
n + o(x
n )
En changeant x en −x, on obtient :
1
1 + x
= 1 − x + x
2 − · · · + (−1)
k x
k + · · · + (−1)
n x
n + o(x
n )
® La fonction x → ln(1 + x) est une primitive de x →
1
1+x et elle
prend la valeur 0 en 0. Le développement limité de ln(1 + x) à l’ordre n s’obtient donc en intégrant terme à terme le développement
limité à l’ordre n − 1 de
1
1+x et en tenant compte de ln 1 = 0.
ln (1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
− · · · + (−1)
n−1 x
n
n
+ o(x
n )
® Si l’on pose f (x) = e
x
, alors f est dérivable autant de fois qu’on veut
et f (0) = f
(0) = · · · = f
(n) (0) = 1. Le dévelopement limité de
l’exponentielle à l’ordre n en 0 est donc :
e
x = 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+ · · · +
x
n
n!
+ o(x
n )
® La fonction cosinus est dérivable autant de fois qu’on veut et l’on a
cos
(2k) (0) = (−1)
k
et cos
(2k+1) (0) = 0 pour tout entier k 0. Le
dévelopement limité de cosinus à l’ordre 2n + 1 en 0 est donc :
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Chapitre 3 • Développement limité
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