alors F a pour développement limité à l’ordre n + 1 :
F(x) = F(0) + a 0 x + a 1
x
2
2
+ · · · + a n
x
n+1
n + 1
+ o(x
n+1 )
On peut donc intégrer terme à terme un développement limité (sans
oublier la constante d’intégration F(0)).
Démonstration. Dans le développement limité de f, posons ε(x) = o(x
n )/x
n
pour x = / 0 et ε(0) = 0. La fonction ε est continue en tout x = / 0 et aussi en 0,
car lim
x→0
ε(x) = 0. D’après le théorème p. 104, la fonction x → x
n ε(x) a donc
une primitive R : I → R telle que R(0) = 0. En prenant les primitives terme à
terme dans le développement limité f (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x
n + x
n ε(x),
il vient
F(x) − F(0) = a 0 x + a 1
x
2
2
+ · · · + a n
x
n+1
n + 1
+ R(x)
Il reste à montrer que R(x) =
x→0
o(x
n+1 ) . Appliquons en effet à R le théorème
des accroissements finis : pour tout x ∈ I, il existe c(x) tel que 0 |c(x)| |x|
et
R(x) = R(x) − R(0) = (x − 0)R
c(x)
= xc(x)
n ε
c(x)
R(x)
= |x|
c(x)
n
ε
c(x)
|x||x|
n
ε
c(x)
= |x
n+1 |
ε
c(x)
On a lim
x→0
c(x) = 0 et la fonction ε est continue en 0, donc ε
c(x)
tend vers
ε(0) = 0 quand x tend vers 0. On a donc bien lim
x→0
R(x)
x n+1 = 0.
J
Propriétés de parité. Soit f : ] − a,a[→ R une fonction ayant un
développement limité à l’ordre n en 0 : f (x) = p(x) + o(x
n ) , où p
est un polynôme de degré au plus n.
® Si la fonction f est paire, alors le polynôme p est pair, c’est-à-dire
que n’y figurent, avec des coefficients non nuls, que des monomes
d’exposant pair.
® Si la fonction f est impaire, alors le polynôme p est impair, c’està-dire que n’y figurent, avec des coefficients non nuls, que des
monomes d’exposant impair.
Démonstration. Supposons f paire, c’est-à-dire f (x) = f (−x) quel que soit
x ∈] − a,a[. Le développement limité de la fonction x → f (−x) s’obtient en
remplaçant x par −x dans celui de f. On a ainsi les deux développements à l’ordre n :
3.2 • Développement limité
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